Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsubf 42922
 Description: The subtraction rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvsubf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvsubf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvsubf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvsubf.fdv (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvsubf.gdv (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvsubf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f − (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvsubf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvsubf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvsubf.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
32ffvelrnda 6842 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4 dvfg 24605 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
6 dvsubf.fdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
76feq2d 6484 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
85, 7mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
98ffvelrnda 6842 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
102feqmptd 6721 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
1110oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))))
128feqmptd 6721 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
1311, 12eqtr3d 2795 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
14 dvsubf.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
1514ffvelrnda 6842 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
16 dvfg 24605 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
171, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
18 dvsubf.gdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1918feq2d 6484 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
2017, 19mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2120ffvelrnda 6842 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
2214feqmptd 6721 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
2322oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))))
2420feqmptd 6721 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
2523, 24eqtr3d 2795 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
261, 3, 9, 13, 15, 21, 25dvmptsub 24666 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) − ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))))
27 ovex 7183 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) ∈ V
2827dmex 7621 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ∈ V
296, 28eqeltrrdi 2861 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
3029, 3, 15, 10, 22offval2 7424 . . 3 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
3130oveq2d 7166 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f𝐺)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))))
3229, 9, 21, 12, 24offval2 7424 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f − (𝑆 D 𝐺)) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) − ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))))
3326, 31, 323eqtr4d 2803 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f − (𝑆 D 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  {cpr 4524   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  ℂcc 10573  ℝcr 10574   − cmin 10908   D cdv 24562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566 This theorem is referenced by:  dvsubcncf  42932
 Copyright terms: Public domain W3C validator