Theorem esumel 34153

Description: The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumel.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumel.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumel.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumel.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumel	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumel.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		esumel.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5	2, 4	ralrimi 3232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		esumel.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
7	6	esumcl 34136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	1, 5, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		snidg 4615	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
11		eqid 2734	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
12		nfcv 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	2, 6, 12, 3, 13	fmptdF 32683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
15		inss1 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17	15, 16	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19		nfcv 2896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	6, 19	resmptf 5996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
21	18, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
22	21	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))
23	22	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
24	2, 6, 1, 3, 23	esumval 34152	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
25	11, 1, 14, 24	xrge0tsmsd 33104	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
26	10, 25	eleqtrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881  ∀wral 3049   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   ↦ cmpt 5177   ↾ cres 5624  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  [,]cicc 13262   ↾_s cress 17155   Σ_g cgsu 17358  ℝ^*_𝑠cxrs 17419   tsums ctsu 24068  Σ^*cesum 34133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-xadd 13025  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-ordt 17420  df-xrs 17421  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-ntr 22962  df-nei 23040  df-cn 23169  df-haus 23257  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-tsms 24069  df-esum 34134

This theorem is referenced by:  esumsplit  34159  esumadd  34163  esumaddf  34167  esumcocn  34186