Theorem esumel 34083

Description: The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumel.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumel.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumel.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumel.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumel	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumel.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		esumel.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5	2, 4	ralrimi 3244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		esumel.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
7	6	esumcl 34066	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	1, 5, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		snidg 4641	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
12		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	2, 6, 12, 3, 13	fmptdF 32639	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
15		inss1 4217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17	15, 16	sselid 3961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	6, 19	resmptf 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
21	18, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
22	21	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))
23	22	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
24	2, 6, 1, 3, 23	esumval 34082	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
25	11, 1, 14, 24	xrge0tsmsd 33061	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
26	10, 25	eleqtrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   ↾ cres 5661  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  0cc0 11134  +∞cpnf 11271  [,]cicc 13370   ↾_s cress 17256   Σ_g cgsu 17459  ℝ^*_𝑠cxrs 17519   tsums ctsu 24069  Σ^*cesum 34063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-xadd 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-ordt 17520  df-xrs 17521  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-ntr 22963  df-nei 23041  df-cn 23170  df-haus 23258  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-tsms 24070  df-esum 34064

This theorem is referenced by:  esumsplit  34089  esumadd  34093  esumaddf  34097  esumcocn  34116