Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumel 31577
Description: The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumel.1 𝑘𝜑
esumel.2 𝑘𝐴
esumel.3 (𝜑𝐴𝑉)
esumel.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumel (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumel.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2 esumel.1 . . . . 5 𝑘𝜑
3 esumel.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
43ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
52, 4ralrimi 3127 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 esumel.2 . . . . 5 𝑘𝐴
76esumcl 31560 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
81, 5, 7syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9 snidg 4547 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘𝐴𝐵})
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘𝐴𝐵})
11 eqid 2738 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
12 nfcv 2899 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
13 eqid 2738 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
142, 6, 12, 3, 13fmptdF 30560 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
15 inss1 4117 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
16 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1715, 16sseldi 3873 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1817elpwid 4496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
19 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
206, 19resmptf 5875 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
2221eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵) = ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))
2322oveq2d 7180 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
242, 6, 1, 3, 23esumval 31576 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
2511, 1, 14, 24xrge0tsmsd 30886 . 2 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {Σ*𝑘𝐴𝐵})
2610, 25eleqtrrd 2836 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2113  wnfc 2879  wral 3053  cin 3840  wss 3841  𝒫 cpw 4485  {csn 4513  cmpt 5107  cres 5521  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  0cc0 10608  +∞cpnf 10743  [,]cicc 12817  s cress 16580   Σg cgsu 16810  *𝑠cxrs 16869   tsums ctsu 22870  Σ*cesum 31557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-xadd 12584  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-ordt 16870  df-xrs 16871  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-ps 17919  df-tsr 17920  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-ntr 21764  df-nei 21842  df-cn 21971  df-haus 22059  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-tsms 22871  df-esum 31558
This theorem is referenced by:  esumsplit  31583  esumadd  31587  esumaddf  31591  esumcocn  31610
  Copyright terms: Public domain W3C validator