Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumel 33671
Description: The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumel.1 𝑘𝜑
esumel.2 𝑘𝐴
esumel.3 (𝜑𝐴𝑉)
esumel.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumel (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumel.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2 esumel.1 . . . . 5 𝑘𝜑
3 esumel.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
43ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
52, 4ralrimi 3250 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 esumel.2 . . . . 5 𝑘𝐴
76esumcl 33654 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
81, 5, 7syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9 snidg 4665 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘𝐴𝐵})
108, 9syl 17 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘𝐴𝐵})
11 eqid 2727 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
12 nfcv 2898 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
13 eqid 2727 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
142, 6, 12, 3, 13fmptdF 32460 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
15 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
16 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1715, 16sselid 3978 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1817elpwid 4613 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
19 nfcv 2898 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
206, 19resmptf 6046 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
2221eqcomd 2733 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵) = ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))
2322oveq2d 7440 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
242, 6, 1, 3, 23esumval 33670 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
2511, 1, 14, 24xrge0tsmsd 32789 . 2 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {Σ*𝑘𝐴𝐵})
2610, 25eleqtrrd 2831 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2878  wral 3057  cin 3946  wss 3947  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  cmpt 5233  cres 5682  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  0cc0 11144  +∞cpnf 11281  [,]cicc 13365  s cress 17214   Σg cgsu 17427  *𝑠cxrs 17487   tsums ctsu 24048  Σ*cesum 33651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-xadd 13131  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-ordt 17488  df-xrs 17489  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-ps 18563  df-tsr 18564  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-ntr 22942  df-nei 23020  df-cn 23149  df-haus 23237  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tsms 24049  df-esum 33652
This theorem is referenced by:  esumsplit  33677  esumadd  33681  esumaddf  33685  esumcocn  33704
  Copyright terms: Public domain W3C validator