Theorem esumel 31577

Description: The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumel.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumel.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumel.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumel.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumel	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumel.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumel.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		esumel.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4	3	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5	2, 4	ralrimi 3127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		esumel.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
7	6	esumcl 31560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	1, 5, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		snidg 4547	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
12		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	2, 6, 12, 3, 13	fmptdF 30560	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
15		inss1 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
16		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
17	15, 16	sseldi 3873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
20	6, 19	resmptf 5875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
21	18, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
22	21	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))
23	22	oveq2d 7180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
24	2, 6, 1, 3, 23	esumval 31576	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
25	11, 1, 14, 24	xrge0tsmsd 30886	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = {Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵})
26	10, 25	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3053   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841  𝒫 cpw 4485  {csn 4513   ↦ cmpt 5107   ↾ cres 5521  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  0cc0 10608  +∞cpnf 10743  [,]cicc 12817   ↾_s cress 16580   Σ_g cgsu 16810  ℝ^*_𝑠cxrs 16869   tsums ctsu 22870  Σ^*cesum 31557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-xadd 12584  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-ordt 16870  df-xrs 16871  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-ps 17919  df-tsr 17920  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-ntr 21764  df-nei 21842  df-cn 21971  df-haus 22059  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-tsms 22871  df-esum 31558

This theorem is referenced by:  esumsplit  31583  esumadd  31587  esumaddf  31591  esumcocn  31610