Theorem hdmapinvlem1 41315

Description: Line 27 in [Baer] p. 110. We use 𝐶 for Baer's u. Our unit vector 𝐸 has the required properties for his w by hdmapevec2 41233. Our ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) means the inner product ⟨𝐶, 𝐸⟩ i.e. his f(u,w) (note argument reversal). (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapinvlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem1.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem1.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hdmapinvlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapinvlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapinvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapinvlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 )

Proof of Theorem hdmapinvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapinvlem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2		hdmapinvlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmapinvlem1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapinvlem1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapinvlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		hdmapinvlem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapinvlem1.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapinvlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	2, 10, 11, 4, 5, 12, 13, 9	dvheveccl 40509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	hdmaplkr 41310	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)) = (𝑂‘{𝐸}))
17	1, 16	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)))
18		hdmapinvlem1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
19		hdmapinvlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	2, 4, 9	dvhlmod 40507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	2, 4, 5, 21, 22, 8, 9, 15	hdmapcl 41227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	2, 21, 22, 4, 6, 9, 23	lcdvbaselfl 40992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) ∈ (LFnl‘𝑈))
25	15	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
26	2, 4, 5, 3	dochssv 40752	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	9, 25, 26	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27, 1	sseldd 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
29	5, 18, 19, 6, 7, 20, 24, 28	ellkr2 38487	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)) ↔ ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 ))
30	17, 29	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  {csn 4624  ⟨cop 4630   I cid 5569   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  Basecbs 17165  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221  0_gc0g 17406  LModclmod 20725  LFnlclfn 38453  LKerclk 38481  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  DVecHcdvh 40475  ocHcoch 40744  LCDualclcd 40983  HDMapchdma 41189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-lshyp 38373  df-lcv 38415  df-lfl 38454  df-lkr 38482  df-ldual 38520  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tgrp 40140  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-dveca 40400  df-disoa 40426  df-dvech 40476  df-dib 40536  df-dic 40570  df-dih 40626  df-doch 40745  df-djh 40792  df-lcdual 40984  df-mapd 41022  df-hvmap 41154  df-hdmap1 41190  df-hdmap 41191

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem2  41316  hdmapinvlem3  41317  hdmapinvlem4  41318  hdmapglem7b  41325