Theorem hdmapinvlem1 41914

Description: Line 27 in [Baer] p. 110. We use 𝐶 for Baer's u. Our unit vector 𝐸 has the required properties for his w by hdmapevec2 41832. Our ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) means the inner product ⟨𝐶, 𝐸⟩ i.e. his f(u,w) (note argument reversal). (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapinvlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem1.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem1.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hdmapinvlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapinvlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapinvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapinvlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 )

Proof of Theorem hdmapinvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapinvlem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2		hdmapinvlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmapinvlem1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapinvlem1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapinvlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		hdmapinvlem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapinvlem1.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapinvlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	2, 10, 11, 4, 5, 12, 13, 9	dvheveccl 41108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	hdmaplkr 41909	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)) = (𝑂‘{𝐸}))
17	1, 16	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)))
18		hdmapinvlem1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
19		hdmapinvlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	2, 4, 9	dvhlmod 41106	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	2, 4, 5, 21, 22, 8, 9, 15	hdmapcl 41826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	2, 21, 22, 4, 6, 9, 23	lcdvbaselfl 41591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) ∈ (LFnl‘𝑈))
25	15	snssd 4758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
26	2, 4, 5, 3	dochssv 41351	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	9, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27, 1	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
29	5, 18, 19, 6, 7, 20, 24, 28	ellkr2 39087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)) ↔ ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 ))
30	17, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3899  {csn 4573  ⟨cop 4579   I cid 5507   ↾ cres 5615  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  ._rcmulr 17149  Scalarcsca 17151  0_gc0g 17330  LModclmod 20747  LFnlclfn 39053  LKerclk 39081  HLchlt 39346  LHypclh 39980  LTrncltrn 40097  DVecHcdvh 41074  ocHcoch 41343  LCDualclcd 41582  HDMapchdma 41788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-riotaBAD 38949

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-tpos 8150  df-undef 8197  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-0g 17332  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-proset 18187  df-poset 18206  df-plt 18221  df-lub 18237  df-glb 18238  df-join 18239  df-meet 18240  df-p0 18316  df-p1 18317  df-lat 18325  df-clat 18392  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-subg 18989  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19502  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-dvr 20273  df-nzr 20382  df-rlreg 20563  df-domn 20564  df-drng 20600  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-lvec 20991  df-lsatoms 38972  df-lshyp 38973  df-lcv 39015  df-lfl 39054  df-lkr 39082  df-ldual 39120  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39494  df-lplanes 39495  df-lvols 39496  df-lines 39497  df-psubsp 39499  df-pmap 39500  df-padd 39792  df-lhyp 39984  df-laut 39985  df-ldil 40100  df-ltrn 40101  df-trl 40155  df-tgrp 40739  df-tendo 40751  df-edring 40753  df-dveca 40999  df-disoa 41025  df-dvech 41075  df-dib 41135  df-dic 41169  df-dih 41225  df-doch 41344  df-djh 41391  df-lcdual 41583  df-mapd 41621  df-hvmap 41753  df-hdmap1 41789  df-hdmap 41790

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem2  41915  hdmapinvlem3  41916  hdmapinvlem4  41917  hdmapglem7b  41924