Theorem hdmapinvlem1 41523

Description: Line 27 in [Baer] p. 110. We use 𝐶 for Baer's u. Our unit vector 𝐸 has the required properties for his w by hdmapevec2 41441. Our ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) means the inner product ⟨𝐶, 𝐸⟩ i.e. his f(u,w) (note argument reversal). (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapinvlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem1.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem1.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hdmapinvlem1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapinvlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapinvlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapinvlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 )

Proof of Theorem hdmapinvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapinvlem1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2		hdmapinvlem1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmapinvlem1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapinvlem1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapinvlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		hdmapinvlem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapinvlem1.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		hdmapinvlem1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
14	2, 10, 11, 4, 5, 12, 13, 9	dvheveccl 40717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
15	14	eldifad 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	hdmaplkr 41518	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)) = (𝑂‘{𝐸}))
17	1, 16	eleqtrrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)))
18		hdmapinvlem1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
19		hdmapinvlem1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	2, 4, 9	dvhlmod 40715	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	2, 4, 5, 21, 22, 8, 9, 15	hdmapcl 41435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	2, 21, 22, 4, 6, 9, 23	lcdvbaselfl 41200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) ∈ (LFnl‘𝑈))
25	15	snssd 4814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
26	2, 4, 5, 3	dochssv 40960	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	9, 25, 26	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27, 1	sseldd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
29	5, 18, 19, 6, 7, 20, 24, 28	ellkr2 38695	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝐸)) ↔ ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 ))
30	17, 29	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐶) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  {csn 4630  ⟨cop 4636   I cid 5575   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  Basecbs 17188  ._rcmulr 17242  Scalarcsca 17244  0_gc0g 17429  LModclmod 20760  LFnlclfn 38661  LKerclk 38689  HLchlt 38954  LHypclh 39589  LTrncltrn 39706  DVecHcdvh 40683  ocHcoch 40952  LCDualclcd 41191  HDMapchdma 41397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38557

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-0g 17431  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-oppg 19314  df-lsm 19608  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-drng 20643  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-lvec 21005  df-lsatoms 38580  df-lshyp 38581  df-lcv 38623  df-lfl 38662  df-lkr 38690  df-ldual 38728  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-llines 39103  df-lplanes 39104  df-lvols 39105  df-lines 39106  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593  df-laut 39594  df-ldil 39709  df-ltrn 39710  df-trl 39764  df-tgrp 40348  df-tendo 40360  df-edring 40362  df-dveca 40608  df-disoa 40634  df-dvech 40684  df-dib 40744  df-dic 40778  df-dih 40834  df-doch 40953  df-djh 41000  df-lcdual 41192  df-mapd 41230  df-hvmap 41362  df-hdmap1 41398  df-hdmap 41399

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem2  41524  hdmapinvlem3  41525  hdmapinvlem4  41526  hdmapglem7b  41533