Theorem hdmapellkr 42211

Description: Membership in the kernel (as shown by hdmaplkr 42210) of the vector to dual map. Line 17 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 16-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapellkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapellkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapellkr.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapellkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapellkr.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapellkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapellkr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapellkr	⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Proof of Theorem hdmapellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapellkr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmapellkr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
3		hdmapellkr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
6		hdmapellkr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hdmapellkr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapellkr.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 41407	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
12		hdmapellkr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmapellkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 1, 10, 11, 12, 8, 13	hdmapcl 42127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
15	6, 10, 11, 7, 4, 8, 14	lcdvbaselfl 41892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
16		hdmapellkr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 15, 16	ellkr2 39388	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ))
18		hdmapellkr.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	6, 18, 7, 1, 4, 5, 12, 8, 13	hdmaplkr 42210	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
20	19	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))
21	17, 20	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4581  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  Scalarcsca 17184  0_gc0g 17363  LModclmod 20815  LFnlclfn 39354  LKerclk 39382  HLchlt 39647  LHypclh 40281  DVecHcdvh 41375  ocHcoch 41644  LCDualclcd 41883  HDMapchdma 42089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-riotaBAD 39250

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17365  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-nzr 20450  df-rlreg 20631  df-domn 20632  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059  df-lsatoms 39273  df-lshyp 39274  df-lcv 39316  df-lfl 39355  df-lkr 39383  df-ldual 39421  df-oposet 39473  df-ol 39475  df-oml 39476  df-covers 39563  df-ats 39564  df-atl 39595  df-cvlat 39619  df-hlat 39648  df-llines 39795  df-lplanes 39796  df-lvols 39797  df-lines 39798  df-psubsp 39800  df-pmap 39801  df-padd 40093  df-lhyp 40285  df-laut 40286  df-ldil 40401  df-ltrn 40402  df-trl 40456  df-tgrp 41040  df-tendo 41052  df-edring 41054  df-dveca 41300  df-disoa 41326  df-dvech 41376  df-dib 41436  df-dic 41470  df-dih 41526  df-doch 41645  df-djh 41692  df-lcdual 41884  df-mapd 41922  df-hvmap 42054  df-hdmap1 42090  df-hdmap 42091

This theorem is referenced by:  hdmapip0com  42214  hdmapoc  42228