Theorem hdmapellkr 42351

Description: Membership in the kernel (as shown by hdmaplkr 42350) of the vector to dual map. Line 17 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 16-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapellkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapellkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapellkr.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapellkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapellkr.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapellkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapellkr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapellkr	⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Proof of Theorem hdmapellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapellkr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmapellkr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
3		hdmapellkr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
6		hdmapellkr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hdmapellkr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapellkr.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 41547	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
12		hdmapellkr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmapellkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 1, 10, 11, 12, 8, 13	hdmapcl 42267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
15	6, 10, 11, 7, 4, 8, 14	lcdvbaselfl 42032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
16		hdmapellkr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 15, 16	ellkr2 39528	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ))
18		hdmapellkr.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	6, 18, 7, 1, 4, 5, 12, 8, 13	hdmaplkr 42350	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
20	19	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))
21	17, 20	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  Scalarcsca 17181  0_gc0g 17360  LModclmod 20813  LFnlclfn 39494  LKerclk 39522  HLchlt 39787  LHypclh 40421  DVecHcdvh 41515  ocHcoch 41784  LCDualclcd 42023  HDMapchdma 42229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-0g 17362  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-nzr 20448  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lsatoms 39413  df-lshyp 39414  df-lcv 39456  df-lfl 39495  df-lkr 39523  df-ldual 39561  df-oposet 39613  df-ol 39615  df-oml 39616  df-covers 39703  df-ats 39704  df-atl 39735  df-cvlat 39759  df-hlat 39788  df-llines 39935  df-lplanes 39936  df-lvols 39937  df-lines 39938  df-psubsp 39940  df-pmap 39941  df-padd 40233  df-lhyp 40425  df-laut 40426  df-ldil 40541  df-ltrn 40542  df-trl 40596  df-tgrp 41180  df-tendo 41192  df-edring 41194  df-dveca 41440  df-disoa 41466  df-dvech 41516  df-dib 41576  df-dic 41610  df-dih 41666  df-doch 41785  df-djh 41832  df-lcdual 42024  df-mapd 42062  df-hvmap 42194  df-hdmap1 42230  df-hdmap 42231

This theorem is referenced by:  hdmapip0com  42354  hdmapoc  42368