Theorem hdmapellkr 42634

Description: Membership in the kernel (as shown by hdmaplkr 42633) of the vector to dual map. Line 17 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 16-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapellkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapellkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapellkr.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapellkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapellkr.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapellkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapellkr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapellkr	⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Proof of Theorem hdmapellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapellkr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmapellkr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
3		hdmapellkr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
6		hdmapellkr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hdmapellkr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapellkr.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 41830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
12		hdmapellkr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmapellkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 1, 10, 11, 12, 8, 13	hdmapcl 42550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
15	6, 10, 11, 7, 4, 8, 14	lcdvbaselfl 42315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
16		hdmapellkr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 15, 16	ellkr2 39811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ))
18		hdmapellkr.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	6, 18, 7, 1, 4, 5, 12, 8, 13	hdmaplkr 42633	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
20	19	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))
21	17, 20	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {csn 4588  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  LModclmod 20960  LFnlclfn 39777  LKerclk 39805  HLchlt 40070  LHypclh 40704  DVecHcdvh 41798  ocHcoch 42067  LCDualclcd 42306  HDMapchdma 42512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-riotaBAD 39673

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-oppg 19415  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-nzr 20595  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-lsatoms 39696  df-lshyp 39697  df-lcv 39739  df-lfl 39778  df-lkr 39806  df-ldual 39844  df-oposet 39896  df-ol 39898  df-oml 39899  df-covers 39986  df-ats 39987  df-atl 40018  df-cvlat 40042  df-hlat 40071  df-llines 40218  df-lplanes 40219  df-lvols 40220  df-lines 40221  df-psubsp 40223  df-pmap 40224  df-padd 40516  df-lhyp 40708  df-laut 40709  df-ldil 40824  df-ltrn 40825  df-trl 40879  df-tgrp 41463  df-tendo 41475  df-edring 41477  df-dveca 41723  df-disoa 41749  df-dvech 41799  df-dib 41859  df-dic 41893  df-dih 41949  df-doch 42068  df-djh 42115  df-lcdual 42307  df-mapd 42345  df-hvmap 42477  df-hdmap1 42513  df-hdmap 42514

This theorem is referenced by:  hdmapip0com  42637  hdmapoc  42651