Theorem hdmapellkr 42543

Description: Membership in the kernel (as shown by hdmaplkr 42542) of the vector to dual map. Line 17 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 16-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapellkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapellkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapellkr.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapellkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapellkr.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapellkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapellkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapellkr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapellkr	⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Proof of Theorem hdmapellkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapellkr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		hdmapellkr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
3		hdmapellkr.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
6		hdmapellkr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hdmapellkr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapellkr.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 41739	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
12		hdmapellkr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmapellkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	6, 7, 1, 10, 11, 12, 8, 13	hdmapcl 42459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
15	6, 10, 11, 7, 4, 8, 14	lcdvbaselfl 42224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
16		hdmapellkr.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 15, 16	ellkr2 39720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ ((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ))
18		hdmapellkr.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	6, 18, 7, 1, 4, 5, 12, 8, 13	hdmaplkr 42542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
20	19	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))
21	17, 20	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (𝑂‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {csn 4583  ‘cfv 6521  Basecbs 17255  Scalarcsca 17299  0_gc0g 17478  LModclmod 20934  LFnlclfn 39686  LKerclk 39714  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707  ocHcoch 41976  LCDualclcd 42215  HDMapchdma 42421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-0g 17480  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-proset 18336  df-poset 18355  df-plt 18370  df-lub 18386  df-glb 18387  df-join 18388  df-meet 18389  df-p0 18465  df-p1 18466  df-lat 18474  df-clat 18541  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-cntz 19367  df-oppg 19396  df-lsm 19686  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-oppr 20396  df-dvdsr 20416  df-unit 20417  df-invr 20447  df-dvr 20460  df-nzr 20573  df-rlreg 20754  df-domn 20755  df-drng 20790  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-lvec 21177  df-lsatoms 39605  df-lshyp 39606  df-lcv 39648  df-lfl 39687  df-lkr 39715  df-ldual 39753  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024  df-lcdual 42216  df-mapd 42254  df-hvmap 42386  df-hdmap1 42422  df-hdmap 42423

This theorem is referenced by:  hdmapip0com  42546  hdmapoc  42560