Theorem hdmapln1 40777

Description: Linearity property that will be used for inner product. TODO: try to combine hypotheses in hdmap*ln* series. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapln1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapln1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapln1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapln1.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapln1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapln1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapln1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapln1.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmapln1.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapln1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapln1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapln1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapln1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapln1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmapln1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapln1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapln1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapln1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapln1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		hdmapln1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmapln1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapln1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10	hdmapcl 40701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 5, 6, 2, 7, 3, 11	lcdvbaselfl 40466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈))
13		hdmapln1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14		hdmapln1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		hdmapln1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		hdmapln1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17		hdmapln1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		hdmapln1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hdmapln1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20		hdmapln1.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
21		hdmapln1.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
22	8, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 7	lfli 37931	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))
23	4, 12, 13, 14, 15, 22	syl113anc 1383	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  LModclmod 20471  LFnlclfn 37927  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  LCDualclcd 40457  HDMapchdma 40663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lshyp 37847  df-lcv 37889  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-ldual 37994  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266  df-lcdual 40458  df-mapd 40496  df-hvmap 40628  df-hdmap1 40664  df-hdmap 40665

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  40799  hlhilphllem  40834