Theorem hdmapln1 38435

Description: Linearity property that will be used for inner product. TODO: try to combine hypotheses in hdmap*ln* series. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapln1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapln1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapln1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapln1.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapln1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapln1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapln1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapln1.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmapln1.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapln1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapln1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapln1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapln1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapln1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmapln1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapln1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapln1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapln1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapln1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 37639	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		eqid 2772	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2772	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		hdmapln1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmapln1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapln1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10	hdmapcl 38359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 5, 6, 2, 7, 3, 11	lcdvbaselfl 38124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈))
13		hdmapln1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14		hdmapln1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		hdmapln1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		hdmapln1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17		hdmapln1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18		hdmapln1.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		hdmapln1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20		hdmapln1.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
21		hdmapln1.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
22	8, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 7	lfli 35590	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))
23	4, 12, 13, 14, 15, 22	syl113anc 1362	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  +_gcplusg 16411  ._rcmulr 16412  Scalarcsca 16414   ·_𝑠 cvsca 16415  LModclmod 19346  LFnlclfn 35586  HLchlt 35879  LHypclh 36513  DVecHcdvh 37607  LCDualclcd 38115  HDMapchdma 38321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-riotaBAD 35482

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-undef 7735  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-0g 16561  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-cntz 18208  df-oppg 18235  df-lsm 18512  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-drng 19217  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-lvec 19587  df-lsatoms 35505  df-lshyp 35506  df-lcv 35548  df-lfl 35587  df-lkr 35615  df-ldual 35653  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688  df-tgrp 37272  df-tendo 37284  df-edring 37286  df-dveca 37532  df-disoa 37558  df-dvech 37608  df-dib 37668  df-dic 37702  df-dih 37758  df-doch 37877  df-djh 37924  df-lcdual 38116  df-mapd 38154  df-hvmap 38286  df-hdmap1 38322  df-hdmap 38323

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  38457  hlhilphllem  38488