Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapln1 40300
Description: Linearity property that will be used for inner product. TODO: try to combine hypotheses in hdmap*ln* series. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapln1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapln1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapln1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapln1.p + = (+g𝑈)
hdmapln1.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapln1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapln1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapln1.q = (+g𝑅)
hdmapln1.m × = (.r𝑅)
hdmapln1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapln1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapln1.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmapln1.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmapln1.z (𝜑𝑍𝑉)
hdmapln1.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapln1 (𝜑 → ((𝑆𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆𝑍)‘𝑋)) ((𝑆𝑍)‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapln1
StepHypRef Expression
1 hdmapln1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapln1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapln1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 39504 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 eqid 2737 . . 3 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2737 . . 3 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7 eqid 2737 . . 3 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8 hdmapln1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmapln1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapln1.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
111, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10hdmapcl 40224 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
121, 5, 6, 2, 7, 3, 11lcdvbaselfl 39989 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈))
13 hdmapln1.a . 2 (𝜑𝐴𝐵)
14 hdmapln1.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
15 hdmapln1.y . 2 (𝜑𝑌𝑉)
16 hdmapln1.p . . 3 + = (+g𝑈)
17 hdmapln1.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18 hdmapln1.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
19 hdmapln1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
20 hdmapln1.q . . 3 = (+g𝑅)
21 hdmapln1.m . . 3 × = (.r𝑅)
228, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 7lfli 37454 . 2 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑆𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆𝑍)‘𝑋)) ((𝑆𝑍)‘𝑌)))
234, 12, 13, 14, 15, 22syl113anc 1382 1 (𝜑 → ((𝑆𝑍)‘((𝐴 · 𝑋) + 𝑌)) = ((𝐴 × ((𝑆𝑍)‘𝑋)) ((𝑆𝑍)‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  +gcplusg 17092  .rcmulr 17093  Scalarcsca 17095   ·𝑠 cvsca 17096  LModclmod 20274  LFnlclfn 37450  HLchlt 37743  LHypclh 38378  DVecHcdvh 39472  LCDualclcd 39980  HDMapchdma 40186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37346
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-0g 17282  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-proset 18143  df-poset 18161  df-plt 18178  df-lub 18194  df-glb 18195  df-join 18196  df-meet 18197  df-p0 18273  df-p1 18274  df-lat 18280  df-clat 18347  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-subg 18883  df-cntz 19055  df-oppg 19082  df-lsm 19376  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-oppr 20001  df-dvdsr 20022  df-unit 20023  df-invr 20053  df-dvr 20064  df-drng 20139  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-lvec 20516  df-lsatoms 37369  df-lshyp 37370  df-lcv 37412  df-lfl 37451  df-lkr 37479  df-ldual 37517  df-oposet 37569  df-ol 37571  df-oml 37572  df-covers 37659  df-ats 37660  df-atl 37691  df-cvlat 37715  df-hlat 37744  df-llines 37892  df-lplanes 37893  df-lvols 37894  df-lines 37895  df-psubsp 37897  df-pmap 37898  df-padd 38190  df-lhyp 38382  df-laut 38383  df-ldil 38498  df-ltrn 38499  df-trl 38553  df-tgrp 39137  df-tendo 39149  df-edring 39151  df-dveca 39397  df-disoa 39423  df-dvech 39473  df-dib 39533  df-dic 39567  df-dih 39623  df-doch 39742  df-djh 39789  df-lcdual 39981  df-mapd 40019  df-hvmap 40151  df-hdmap1 40187  df-hdmap 40188
This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  40322  hlhilphllem  40357
  Copyright terms: Public domain W3C validator