Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapln1 41419
Description: Linearity property that will be used for inner product. TODO: try to combine hypotheses in hdmap*ln* series. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapln1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapln1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapln1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapln1.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmapln1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmapln1.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapln1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmapln1.q ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
hdmapln1.m Γ— = (.rβ€˜π‘…)
hdmapln1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapln1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapln1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapln1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
hdmapln1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmapln1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
hdmapln1 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ)) = ((𝐴 Γ— ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ⨣ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem hdmapln1
StepHypRef Expression
1 hdmapln1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmapln1.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmapln1.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40623 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 eqid 2728 . . 3 ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
7 eqid 2728 . . 3 (LFnlβ€˜π‘ˆ) = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
8 hdmapln1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
9 hdmapln1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmapln1.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
111, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10hdmapcl 41343 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
121, 5, 6, 2, 7, 3, 11lcdvbaselfl 41108 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ))
13 hdmapln1.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
14 hdmapln1.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 hdmapln1.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 hdmapln1.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
17 hdmapln1.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
18 hdmapln1.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
19 hdmapln1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
20 hdmapln1.q . . 3 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
21 hdmapln1.m . . 3 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
228, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 7lfli 38573 . 2 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘) ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ)) = ((𝐴 Γ— ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ⨣ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
234, 12, 13, 14, 15, 22syl113anc 1379 1 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜((𝐴 Β· 𝑋) + π‘Œ)) = ((𝐴 Γ— ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ⨣ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  LModclmod 20757  LFnlclfn 38569  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  LCDualclcd 41099  HDMapchdma 41305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908  df-lcdual 41100  df-mapd 41138  df-hvmap 41270  df-hdmap1 41306  df-hdmap 41307
This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  41441  hlhilphllem  41476
  Copyright terms: Public domain W3C validator