Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmaplfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmaplfl 40221
Description: The vector to functional map value is a functional. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmaplfl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmaplfl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplfl.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmaplfl.z 0 = (0g𝑈)
hvmaplfl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hvmaplfl.m 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplfl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hvmaplfl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
hvmaplfl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem hvmaplfl
StepHypRef Expression
1 hvmaplfl.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2736 . 2 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2736 . 2 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
4 hvmaplfl.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hvmaplfl.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 hvmaplfl.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 hvmaplfl.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 hvmaplfl.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
9 eqid 2736 . . . 4 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
10 hvmaplfl.m . . . 4 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hvmaplfl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
121, 4, 7, 8, 2, 3, 9, 10, 6, 11hvmapcl2 40220 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ ((Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∖ {(0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))}))
1312eldifad 3922 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13lcdvbaselfl 40049 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3907  {csn 4586  cfv 6496  Basecbs 17082  0gc0g 17320  LFnlclfn 37510  HLchlt 37803  LHypclh 38438  DVecHcdvh 39532  LCDualclcd 40040  HVMapchvm 40210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-riotaBAD 37406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-0g 17322  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-cntz 19095  df-oppg 19122  df-lsm 19416  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-dvr 20110  df-drng 20185  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-lvec 20562  df-lsatoms 37429  df-lshyp 37430  df-lcv 37472  df-lfl 37511  df-lkr 37539  df-ldual 37577  df-oposet 37629  df-ol 37631  df-oml 37632  df-covers 37719  df-ats 37720  df-atl 37751  df-cvlat 37775  df-hlat 37804  df-llines 37952  df-lplanes 37953  df-lvols 37954  df-lines 37955  df-psubsp 37957  df-pmap 37958  df-padd 38250  df-lhyp 38442  df-laut 38443  df-ldil 38558  df-ltrn 38559  df-trl 38613  df-tgrp 39197  df-tendo 39209  df-edring 39211  df-dveca 39457  df-disoa 39483  df-dvech 39533  df-dib 39593  df-dic 39627  df-dih 39683  df-doch 39802  df-djh 39849  df-lcdual 40041  df-hvmap 40211
This theorem is referenced by:  mapdhvmap  40223
  Copyright terms: Public domain W3C validator