Theorem lgsquad 27363

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If 𝑃 and 𝑄 are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols (𝑃 /_L 𝑄) and (𝑄 /_L 𝑃) is the parity of ((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqid 2734	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
5		eqid 2734	. 2 ⊢ ((𝑄 − 1) / 2) = ((𝑄 − 1) / 2)
6		eleq1w 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
7		eleq1w 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)) ↔ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ↔ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)))))
9		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 · 𝑃) = (𝑤 · 𝑃))
10		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑄) = (𝑧 · 𝑄))
11	9, 10	breqan12rd 5140	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄)))
12	8, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))))
13	12	cbvopabv 5196	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 27362	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5123  {copab 5185  (class class class)co 7413  1c1 11138   · cmul 11142   < clt 11277   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11902  2c2 12303  ...cfz 13529  ↑cexp 14084  ℙcprime 16690   /_L clgs 27274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216  ax-mulf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8727  df-ec 8729  df-qs 8733  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506  df-sum 15705  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-phi 16785  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-imas 17524  df-qus 17525  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-nsg 19111  df-eqg 19112  df-ghm 19200  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-rhm 20440  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-idom 20664  df-drng 20699  df-field 20700  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-lidl 21180  df-rsp 21181  df-2idl 21222  df-cnfld 21327  df-zring 21420  df-zrh 21476  df-zn 21479  df-lgs 27275

This theorem is referenced by:  lgsquad2  27366