Theorem lgsquad 27348

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If 𝑃 and 𝑄 are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols (𝑃 /_L 𝑄) and (𝑄 /_L 𝑃) is the parity of ((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqid 2734	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
5		eqid 2734	. 2 ⊢ ((𝑄 − 1) / 2) = ((𝑄 − 1) / 2)
6		eleq1w 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
7		eleq1w 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)) ↔ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ↔ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)))))
9		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 · 𝑃) = (𝑤 · 𝑃))
10		oveq1 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑄) = (𝑧 · 𝑄))
11	9, 10	breqan12rd 5113	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄)))
12	8, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))))
13	12	cbvopabv 5169	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 27347	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4578   class class class wbr 5096  {copab 5158  (class class class)co 7356  1c1 11025   · cmul 11029   < clt 11164   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  ...cfz 13421  ↑cexp 13982  ℙcprime 16596   /_L clgs 27259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-phi 16691  df-pc 16763  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-idom 20627  df-drng 20662  df-field 20663  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-2idl 21203  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-zn 21459  df-lgs 27260

This theorem is referenced by:  lgsquad2  27351