Theorem mapdsn2 42106

Description: Value of the map defined by df-mapd 42089 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdsn.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdsn2.e	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝑂‘{𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mapdsn2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem mapdsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdsn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdsn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdsn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdsn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdsn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdsn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8		mapdsn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9		mapdsn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdsn 42105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
12		mapdsn2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝑂‘{𝑋}))
13	12	sseq1d 3954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓) ↔ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)))
14	13	rabbidv 3397	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝑓)})
15	11, 14	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  LSpanclspn 20961  LFnlclfn 39521  LKerclk 39549  HLchlt 39814  LHypclh 40448  DVecHcdvh 41542  ocHcoch 41811  mapdcmpd 42088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39417

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-lsatoms 39440  df-lshyp 39441  df-lfl 39522  df-lkr 39550  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-covers 39730  df-ats 39731  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-llines 39962  df-lplanes 39963  df-lvols 39964  df-lines 39965  df-psubsp 39967  df-pmap 39968  df-padd 40260  df-lhyp 40452  df-laut 40453  df-ldil 40568  df-ltrn 40569  df-trl 40623  df-tgrp 41207  df-tendo 41219  df-edring 41221  df-dveca 41467  df-disoa 41493  df-dvech 41543  df-dib 41603  df-dic 41637  df-dih 41693  df-doch 41812  df-djh 41859  df-mapd 42089

This theorem is referenced by:  mapdsn3  42107