HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirredi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirredi 30085
Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chirred.1 𝐴C
chirred.2 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
Assertion
Ref Expression
chirredi (𝐴 = 0𝐴 = ℋ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 0 = 0
2 ioran 979 . . . . 5 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0))
3 df-ne 3022 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
4 df-ne 3022 . . . . . 6 ((⊥‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0)
53, 4anbi12i 626 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0))
62, 5bitr4i 279 . . . 4 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0))
7 chirred.1 . . . . . . . 8 𝐴C
87hatomici 30050 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴)
97choccli 28998 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
109hatomici 30050 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
118, 10anim12i 612 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12 reeanv 3373 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
1311, 12sylibr 235 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16 atelch 30035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
17 chsscon3 29191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝C𝐴C ) → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
1816, 7, 17sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
1918biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20 sstr 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
2119, 20sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
2221ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23 atne0 30036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0)
25 sseq1 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
2625bicomd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27 chssoc 29187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝C → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
2926, 28sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
3029biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0)
3130an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0)
3231ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞𝑝 = 0))
3332necon3d 3042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0𝑝𝑞))
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝𝑞)
3534adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝𝑞)
3622, 35syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝𝑞)
3736adantrl 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝𝑞)
38 superpos 30045 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
3914, 15, 37, 38syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
40 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ ((𝑟𝑝𝑟𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
41 neanior 3114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟𝑝𝑟𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4241anbi1i 623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟𝑝𝑟𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
4340, 42bitri 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
44 chirred.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
457, 44chirredlem4 30084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4645anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4746pm2.24d 154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → ¬ 0 = 0))
4847ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → ¬ 0 = 0)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → ¬ 0 = 0)))
5049impd 411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5143, 50syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5251rexlimdva 3289 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0 = 0)
5453an4s 656 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0 = 0)
5554ex 413 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0 = 0))
5655rexlimivv 3297 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0 = 0)
5713, 56syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 0 = 0)
586, 57sylbi 218 . . 3 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) → ¬ 0 = 0)
591, 58mt4 116 . 2 (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0)
60 fveq2 6667 . . . 4 ((⊥‘𝐴) = 0 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0))
617ococi 29096 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62 choc0 29017 . . . 4 (⊥‘0) = ℋ
6360, 61, 623eqtr3g 2884 . . 3 ((⊥‘𝐴) = 0𝐴 = ℋ)
6463orim2i 906 . 2 ((𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
6559, 64ax-mp 5 1 (𝐴 = 0𝐴 = ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  chba 28610   C cch 28620  cort 28621   chj 28624  0c0h 28626   𝐶 ccm 28627  HAtomscat 28656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-shs 28999  df-span 29000  df-chj 29001  df-chsup 29002  df-pjh 29086  df-cm 29274  df-cv 29970  df-at 30029
This theorem is referenced by:  chirred  30086
  Copyright terms: Public domain W3C validator