Theorem chirredi 32357

Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredi	⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ 0ℋ = 0ℋ
2		ioran 985	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
3		df-ne 2926	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
4		df-ne 2926	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
5	3, 4	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
6	2, 5	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ))
7		chirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	hatomici 32322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴)
9	7	choccli 31270	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
10	9	hatomici 32322	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
11	8, 10	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12		reeanv 3201	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
13	11, 12	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16		atelch 32307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
17		chsscon3 31463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
18	16, 7, 17	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
19	18	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20		sstr 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
21	19, 20	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
22	21	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23		atne0 32308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0ℋ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0ℋ)
25		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
26	25	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27		chssoc 31459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
29	26, 28	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
30	29	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0ℋ)
31	30	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0ℋ)
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 0ℋ))
33	32	necon3d 2946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0ℋ → 𝑝 ≠ 𝑞))
34	24, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
35	34	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
36	22, 35	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
37	36	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
38		superpos 32317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
39	14, 15, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
40		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
41		neanior 3018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
42	41	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
43	40, 42	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
44		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
45	7, 44	chirredlem4 32356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
46	45	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
47	46	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
50	49	impd 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
51	43, 50	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
52	51	rexlimdva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
53	39, 52	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
54	53	an4s 660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
56	55	rexlimivv 3171	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
57	13, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
58	6, 57	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
59	1, 58	mt4 116	. 2 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
60		fveq2 6826	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0ℋ))
61	7	ococi 31368	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62		choc0 31289	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
63	60, 61, 62	3eqtr3g 2787	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → 𝐴 = ℋ)
64	63	orim2i 910	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))
65	59, 64	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ℋchba 30882   C_ℋ cch 30892  ⊥cort 30893   ∨_ℋ chj 30896  0_ℋc0h 30898   𝐶_ℋ ccm 30899  HAtomscat 30928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 30962  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hvass 30965  ax-hv0cl 30966  ax-hvaddid 30967  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr1 30971  ax-hvdistr2 30972  ax-hvmul0 30973  ax-hfi 31042  ax-his1 31045  ax-his2 31046  ax-his3 31047  ax-his4 31048  ax-hcompl 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-lm 23133  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cfil 25172  df-cau 25173  df-cmet 25174  df-grpo 30456  df-gid 30457  df-ginv 30458  df-gdiv 30459  df-ablo 30508  df-vc 30522  df-nv 30555  df-va 30558  df-ba 30559  df-sm 30560  df-0v 30561  df-vs 30562  df-nmcv 30563  df-ims 30564  df-dip 30664  df-ssp 30685  df-ph 30776  df-cbn 30826  df-hnorm 30931  df-hba 30932  df-hvsub 30934  df-hlim 30935  df-hcau 30936  df-sh 31170  df-ch 31184  df-oc 31215  df-ch0 31216  df-shs 31271  df-span 31272  df-chj 31273  df-chsup 31274  df-pjh 31358  df-cm 31546  df-cv 32242  df-at 32301

This theorem is referenced by:  chirred  32358