Theorem chirredi 32480

Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredi	⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0ℋ = 0ℋ
2		ioran 986	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
3		df-ne 2934	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
4		df-ne 2934	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
5	3, 4	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
6	2, 5	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ))
7		chirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	hatomici 32445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴)
9	7	choccli 31393	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
10	9	hatomici 32445	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
11	8, 10	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12		reeanv 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
13	11, 12	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16		atelch 32430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
17		chsscon3 31586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
18	16, 7, 17	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
19	18	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20		sstr 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
21	19, 20	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
22	21	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23		atne0 32431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0ℋ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0ℋ)
25		sseq1 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
26	25	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27		chssoc 31582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
29	26, 28	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
30	29	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0ℋ)
31	30	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0ℋ)
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 0ℋ))
33	32	necon3d 2954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0ℋ → 𝑝 ≠ 𝑞))
34	24, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
35	34	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
36	22, 35	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
37	36	adantrl 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
38		superpos 32440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
39	14, 15, 37, 38	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
40		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
41		neanior 3026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
42	41	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
43	40, 42	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
44		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
45	7, 44	chirredlem4 32479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
46	45	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
47	46	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
50	49	impd 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
51	43, 50	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
52	51	rexlimdva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
53	39, 52	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
54	53	an4s 661	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
56	55	rexlimivv 3180	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
57	13, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
58	6, 57	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
59	1, 58	mt4 116	. 2 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
60		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0ℋ))
61	7	ococi 31491	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62		choc0 31412	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
63	60, 61, 62	3eqtr3g 2795	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → 𝐴 = ℋ)
64	63	orim2i 911	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))
65	59, 64	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ℋchba 31005   C_ℋ cch 31015  ⊥cort 31016   ∨_ℋ chj 31019  0_ℋc0h 31021   𝐶_ℋ ccm 31022  HAtomscat 31051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-ssp 30808  df-ph 30899  df-cbn 30949  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339  df-shs 31394  df-span 31395  df-chj 31396  df-chsup 31397  df-pjh 31481  df-cm 31669  df-cv 32365  df-at 32424

This theorem is referenced by:  chirred  32481