Theorem chirredi 32727

Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredi	⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0ℋ = 0ℋ
2		ioran 999	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
3		df-ne 2959	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ ↔ ¬ 𝐴 = 0ℋ)
4		df-ne 2959	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
5	3, 4	anbi12i 639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) ↔ (¬ 𝐴 = 0ℋ ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0ℋ))
6	2, 5	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) ↔ (𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ))
7		chirred.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
8	7	hatomici 32692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ 0ℋ → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴)
9	7	choccli 31640	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
10	9	hatomici 32692	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
11	8, 10	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12		reeanv 3237	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
13	11, 12	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16		atelch 32677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
17		chsscon3 31833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
18	16, 7, 17	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
19	18	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20		sstr 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
21	19, 20	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
22	21	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23		atne0 32678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0ℋ)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0ℋ)
25		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
26	25	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27		chssoc 31829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
28	16, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
29	26, 28	sylan9bbr 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0ℋ))
30	29	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0ℋ)
31	30	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0ℋ)
32	31	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞 → 𝑝 = 0ℋ))
33	32	necon3d 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0ℋ → 𝑝 ≠ 𝑞))
34	24, 33	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
35	34	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
36	22, 35	syldan 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
37	36	adantrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
38		superpos 32687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
39	14, 15, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
40		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
41		neanior 3051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
42	41	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
43	40, 42	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
44		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
45	7, 44	chirredlem4 32726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
46	45	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞))
47	46	pm2.24d 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
48	47	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
49	48	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)))
50	49	impd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝 ∨ 𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
51	43, 50	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
52	51	rexlimdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟 ≠ 𝑝 ∧ 𝑟 ≠ 𝑞 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
53	39, 52	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
54	53	an4s 672	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
55	54	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ))
56	55	rexlimivv 3207	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
57	13, 56	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
58	6, 57	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → ¬ 0ℋ = 0ℋ)
59	1, 58	mt4 117	. 2 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ)
60		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0ℋ))
61	7	ococi 31738	. . . 4 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62		choc0 31659	. . . 4 ⊢ (⊥‘0ℋ) = ℋ
63	60, 61, 62	3eqtr3g 2821	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) = 0ℋ → 𝐴 = ℋ)
64	63	orim2i 923	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0ℋ ∨ (⊥‘𝐴) = 0ℋ) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))
65	59, 64	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ℋchba 31252   C_ℋ cch 31262  ⊥cort 31263   ∨_ℋ chj 31266  0_ℋc0h 31268   𝐶_ℋ ccm 31269  HAtomscat 31298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31332  ax-hfvadd 31333  ax-hvcom 31334  ax-hvass 31335  ax-hv0cl 31336  ax-hvaddid 31337  ax-hfvmul 31338  ax-hvmulid 31339  ax-hvmulass 31340  ax-hvdistr1 31341  ax-hvdistr2 31342  ax-hvmul0 31343  ax-hfi 31412  ax-his1 31415  ax-his2 31416  ax-his3 31417  ax-his4 31418  ax-hcompl 31535

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-lm 23367  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-gdiv 30829  df-ablo 30878  df-vc 30892  df-nv 30925  df-va 30928  df-ba 30929  df-sm 30930  df-0v 30931  df-vs 30932  df-nmcv 30933  df-ims 30934  df-dip 31034  df-ssp 31055  df-ph 31146  df-cbn 31196  df-hnorm 31301  df-hba 31302  df-hvsub 31304  df-hlim 31305  df-hcau 31306  df-sh 31540  df-ch 31554  df-oc 31585  df-ch0 31586  df-shs 31641  df-span 31642  df-chj 31643  df-chsup 31644  df-pjh 31728  df-cm 31916  df-cv 32612  df-at 32671

This theorem is referenced by:  chirred  32728