HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirredi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirredi 32422
Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chirred.1 𝐴C
chirred.2 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
Assertion
Ref Expression
chirredi (𝐴 = 0𝐴 = ℋ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredi
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 0 = 0
2 ioran 985 . . . . 5 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0))
3 df-ne 2938 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
4 df-ne 2938 . . . . . 6 ((⊥‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ (⊥‘𝐴) = 0)
53, 4anbi12i 628 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) ↔ (¬ 𝐴 = 0 ∧ ¬ (⊥‘𝐴) = 0))
62, 5bitr4i 278 . . . 4 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0))
7 chirred.1 . . . . . . . 8 𝐴C
87hatomici 32387 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴)
97choccli 31335 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐴) ∈ C
109hatomici 32387 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐴) ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))
118, 10anim12i 613 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
12 reeanv 3226 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (∃𝑝 ∈ HAtoms 𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ HAtoms 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
1311, 12sylibr 234 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)))
14 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝 ∈ HAtoms)
15 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑞 ∈ HAtoms)
16 atelch 32372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
17 chsscon3 31528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝C𝐴C ) → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
1816, 7, 17sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝𝐴 ↔ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)))
1918biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) → (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝))
20 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
2119, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) ∧ (𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
2221ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝))
23 atne0 32373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ≠ 0)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 ≠ 0)
25 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)))
2625bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝)))
27 chssoc 31524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝C → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
2926, 28sylan9bbr 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝) ↔ 𝑝 = 0))
3029biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 = 𝑞) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝 = 0)
3130an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) ∧ 𝑝 = 𝑞) → 𝑝 = 0)
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑞𝑝 = 0))
3332necon3d 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → (𝑝 ≠ 0𝑝𝑞))
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝𝑞)
3534adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝑝)) → 𝑝𝑞)
3622, 35syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → 𝑝𝑞)
3736adantrl 716 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → 𝑝𝑞)
38 superpos 32382 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝑞) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
3914, 15, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
40 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ ((𝑟𝑝𝑟𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
41 neanior 3032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟𝑝𝑟𝑞) ↔ ¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4241anbi1i 624 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟𝑝𝑟𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
4340, 42bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) ↔ (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)))
44 chirred.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
457, 44chirredlem4 32421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4645anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞))
4746pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → ¬ 0 = 0))
4847ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → ¬ 0 = 0)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → ¬ 0 = 0)))
5049impd 410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((¬ (𝑟 = 𝑝𝑟 = 𝑞) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5143, 50biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5251rexlimdva 3152 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑟𝑝𝑟𝑞𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → ¬ 0 = 0))
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0 = 0)
5453an4s 660 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → ¬ 0 = 0)
5554ex 412 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ HAtoms) → ((𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0 = 0))
5655rexlimivv 3198 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ HAtoms ∃𝑞 ∈ HAtoms (𝑝𝐴𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → ¬ 0 = 0)
5713, 56syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∧ (⊥‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 0 = 0)
586, 57sylbi 217 . . 3 (¬ (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) → ¬ 0 = 0)
591, 58mt4 116 . 2 (𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0)
60 fveq2 6906 . . . 4 ((⊥‘𝐴) = 0 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = (⊥‘0))
617ococi 31433 . . . 4 (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
62 choc0 31354 . . . 4 (⊥‘0) = ℋ
6360, 61, 623eqtr3g 2797 . . 3 ((⊥‘𝐴) = 0𝐴 = ℋ)
6463orim2i 910 . 2 ((𝐴 = 0 ∨ (⊥‘𝐴) = 0) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
6559, 64ax-mp 5 1 (𝐴 = 0𝐴 = ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  chba 30947   C cch 30957  cort 30958   chj 30961  0c0h 30963   𝐶 ccm 30964  HAtomscat 30993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cfil 25302  df-cau 25303  df-cmet 25304  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-ssp 30750  df-ph 30841  df-cbn 30891  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-ch0 31281  df-shs 31336  df-span 31337  df-chj 31338  df-chsup 31339  df-pjh 31423  df-cm 31611  df-cv 32307  df-at 32366
This theorem is referenced by:  chirred  32423
  Copyright terms: Public domain W3C validator