Theorem bayesth 34599

Description: Bayes Theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
bayesth	⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((((cprob‘𝑃)‘⟨𝐵, 𝐴⟩) · (𝑃‘𝐴)) / (𝑃‘𝐵)))

Proof of Theorem bayesth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitsscn 13444	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
2		cndprob01 34595	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (0[,]1))
3	2	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (0[,]1))
4	1, 3	sselid 3920	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℂ)
5		simp11 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ Prob)
6		simp13 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
7		prob01 34573	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
9	1, 8	sselid 3920	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℂ)
10		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ≠ 0)
11	4, 9, 10	divcan4d 11928	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) · (𝑃‘𝐵)) / (𝑃‘𝐵)) = ((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
12		incom 4150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
13	12	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑃‘(𝐵 ∩ 𝐴))
14		cndprobin 34594	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) · (𝑃‘𝐵)) = (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
15	14	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) · (𝑃‘𝐵)) = (𝑃‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
16		simp12 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
17		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ≠ 0)
18		cndprobin 34594	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (((cprob‘𝑃)‘⟨𝐵, 𝐴⟩) · (𝑃‘𝐴)) = (𝑃‘(𝐵 ∩ 𝐴)))
19	5, 6, 16, 17, 18	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (((cprob‘𝑃)‘⟨𝐵, 𝐴⟩) · (𝑃‘𝐴)) = (𝑃‘(𝐵 ∩ 𝐴)))
20	13, 15, 19	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) · (𝑃‘𝐵)) = (((cprob‘𝑃)‘⟨𝐵, 𝐴⟩) · (𝑃‘𝐴)))
21	20	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) · (𝑃‘𝐵)) / (𝑃‘𝐵)) = ((((cprob‘𝑃)‘⟨𝐵, 𝐴⟩) · (𝑃‘𝐴)) / (𝑃‘𝐵)))
22	11, 21	eqtr3d 2774	1 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((((cprob‘𝑃)‘⟨𝐵, 𝐴⟩) · (𝑃‘𝐴)) / (𝑃‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889  ⟨cop 4574  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   / cdiv 11798  [,]cicc 13292  Probcprb 34567  cprobccprob 34591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-abv 20777  df-lmod 20848  df-scaf 20849  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-tmd 24047  df-tgp 24048  df-tsms 24102  df-trg 24135  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-nm 24557  df-ngp 24558  df-nrg 24560  df-nlm 24561  df-ii 24854  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-esum 34188  df-siga 34269  df-meas 34356  df-prob 34568  df-cndprob 34592

This theorem is referenced by: (None)