Theorem dochsscl 42175

Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsscl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsscl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsscl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
dochsscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochsscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem dochsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		dochsscl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
5		dochsscl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dochsscl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dochsscl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		dochsscl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	dochssv 42162	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
10	2, 4, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
11		dochsscl.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
12		dochsscl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	5, 6, 12, 7	dihrnss 42085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
14	1, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
17	5, 6, 7, 8	dochss 42172	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
19	5, 6, 7, 8	dochss 42172	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
20	2, 10, 18, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
21	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
22	5, 12, 8	dochoc 42174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23	2, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
24	20, 23	sseqtrd 3974	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌)
25	5, 6, 7, 8	dochocss 42173	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26	1, 3, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
27		sstr 3946	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
28	26, 27	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
29	24, 28	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  DIsoHcdih 42035  ocHcoch 42154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-0g 17511  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-lsatoms 39783  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155

This theorem is used by:  hdmapoc  42738