Theorem dochsscl 39005

Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsscl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsscl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsscl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
dochsscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochsscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem dochsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		dochsscl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
5		dochsscl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dochsscl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dochsscl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		dochsscl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	dochssv 38992	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
10	2, 4, 9	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
11		dochsscl.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
12		dochsscl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	5, 6, 12, 7	dihrnss 38915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
14	1, 11, 13	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
16		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
17	5, 6, 7, 8	dochss 39002	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
19	5, 6, 7, 8	dochss 39002	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
20	2, 10, 18, 19	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
21	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
22	5, 12, 8	dochoc 39004	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23	2, 21, 22	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
24	20, 23	sseqtrd 3917	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌)
25	5, 6, 7, 8	dochocss 39003	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26	1, 3, 25	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
27		sstr 3885	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
28	26, 27	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
29	24, 28	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843  ran crn 5526  ‘cfv 6339  Basecbs 16586  HLchlt 36987  LHypclh 37621  DVecHcdvh 38715  DIsoHcdih 38865  ocHcoch 38984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-0g 16818  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994  df-lsatoms 36613  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-disoa 38666  df-dvech 38716  df-dib 38776  df-dic 38810  df-dih 38866  df-doch 38985

This theorem is referenced by:  hdmapoc  39568