Theorem dochsscl 41999

Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsscl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsscl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsscl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
dochsscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochsscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem dochsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		dochsscl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
5		dochsscl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dochsscl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dochsscl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		dochsscl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	dochssv 41986	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
10	2, 4, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
11		dochsscl.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
12		dochsscl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	5, 6, 12, 7	dihrnss 41909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
14	1, 11, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
16		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
17	5, 6, 7, 8	dochss 41996	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
19	5, 6, 7, 8	dochss 41996	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
20	2, 10, 18, 19	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
21	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
22	5, 12, 8	dochoc 41998	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23	2, 21, 22	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
24	20, 23	sseqtrd 3975	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌)
25	5, 6, 7, 8	dochocss 41997	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26	1, 3, 25	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
27		sstr 3947	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
28	26, 27	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
29	24, 28	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ran crn 5652  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  HLchlt 39981  LHypclh 40615  DVecHcdvh 41709  DIsoHcdih 41859  ocHcoch 41978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lsatoms 39607  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tendo 41386  df-edring 41388  df-disoa 41660  df-dvech 41710  df-dib 41770  df-dic 41804  df-dih 41860  df-doch 41979

This theorem is referenced by:  hdmapoc  42562