Theorem dochssv 41475

Description: A subspace orthocomplement belongs to the DVecH vector space. (Contributed by NM, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochssv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochssv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochssv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochssv.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochssv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dochssv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochssv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochssv.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochssv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochssv.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dochcl 41473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
7	1, 3, 2, 4	dihrnss 41398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
8	6, 7	syldan 591	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ran crn 5620  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  HLchlt 39470  LHypclh 40104  DVecHcdvh 41198  DIsoHcdih 41348  ocHcoch 41467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-riotaBAD 39073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-0g 17347  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lvec 21039  df-oposet 39296  df-ol 39298  df-oml 39299  df-covers 39386  df-ats 39387  df-atl 39418  df-cvlat 39442  df-hlat 39471  df-llines 39618  df-lplanes 39619  df-lvols 39620  df-lines 39621  df-psubsp 39623  df-pmap 39624  df-padd 39916  df-lhyp 40108  df-laut 40109  df-ldil 40224  df-ltrn 40225  df-trl 40279  df-tendo 40875  df-edring 40877  df-disoa 41149  df-dvech 41199  df-dib 41259  df-dic 41293  df-dih 41349  df-doch 41468

This theorem is referenced by:  dochsscl  41488  dochoccl  41489  dochn0nv  41495  dihoml4c  41496  dihoml4  41497  dochocsp  41499  dochshpncl  41504  dochdmj1  41510  dochdmm1  41530  djhexmid  41531  dochsatshpb  41572  dochexmidlem6  41585  dochsnkr  41592  dochfln0  41597  dochkr1  41598  dochkr1OLDN  41599  lcfl6lem  41618  lcfl6  41620  lcfrlem4  41665  lcfrlem16  41678  lcfr  41705  hdmapinvlem1  42038  hdmapinvlem2  42039  hdmapinvlem3  42040  hdmapinvlem4  42041  hdmapglem5  42042  hgmapvvlem3  42045  hdmapglem7b  42048  hdmapglem7  42049  hdmapoc  42051  hlhillcs  42078