MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0f1o 21723
Description: The determinant function for 0-dimensional matrices on a given ring is a bijection from the singleton containing the empty set (empty matrix) onto the singleton containing the unit of that ring. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
mdet0f1o (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})

Proof of Theorem mdet0f1o
StepHypRef Expression
1 mdet0pr 21722 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩})
2 0ex 5234 . . . 4 ∅ ∈ V
3 fvex 6781 . . . 4 (1r𝑅) ∈ V
42, 3f1osn 6751 . . 3 {⟨∅, (1r𝑅)⟩}:{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)}
5 f1oeq1 6700 . . 3 ((∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩} → ((∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)} ↔ {⟨∅, (1r𝑅)⟩}:{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)}))
64, 5mpbiri 257 . 2 ((∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩} → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})
71, 6syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109  c0 4261  {csn 4566  cop 4572  1-1-ontowf1o 6429  cfv 6430  (class class class)co 7268  1rcur 19718  Ringcrg 19764   maDet cmdat 21714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-addf 10934  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-word 14199  df-lsw 14247  df-concat 14255  df-s1 14282  df-substr 14335  df-pfx 14365  df-splice 14444  df-reverse 14453  df-s2 14542  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-prds 17139  df-pws 17141  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-efmnd 18489  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-gim 18856  df-cntz 18904  df-oppg 18931  df-symg 18956  df-pmtr 19031  df-psgn 19080  df-evpm 19081  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-rnghom 19940  df-drng 19974  df-subrg 20003  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-cnfld 20579  df-zring 20652  df-zrh 20686  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-mat 21536  df-mdet 21715
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator