MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0f1o 21177
Description: The determinant for 0-dimensional matrices is a one-to-one function from the singleton containing the empty set onto the singleton containing the 1 element of the underlying ring.function x is . (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
mdet0f1o (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})

Proof of Theorem mdet0f1o
StepHypRef Expression
1 mdet0pr 21176 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩})
2 0ex 5184 . . . 4 ∅ ∈ V
3 fvex 6656 . . . 4 (1r𝑅) ∈ V
42, 3f1osn 6627 . . 3 {⟨∅, (1r𝑅)⟩}:{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)}
5 f1oeq1 6577 . . 3 ((∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩} → ((∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)} ↔ {⟨∅, (1r𝑅)⟩}:{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)}))
64, 5mpbiri 261 . 2 ((∅ maDet 𝑅) = {⟨∅, (1r𝑅)⟩} → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})
71, 6syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → (∅ maDet 𝑅):{∅}–1-1-onto→{(1r𝑅)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  c0 4266  {csn 4540  cop 4546  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7130  1rcur 19229  Ringcrg 19275   maDet cmdat 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-word 13846  df-lsw 13894  df-concat 13902  df-s1 13929  df-substr 13982  df-pfx 14012  df-splice 14091  df-reverse 14100  df-s2 14189  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-efmnd 18012  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-gim 18377  df-cntz 18425  df-oppg 18452  df-symg 18474  df-pmtr 18548  df-psgn 18597  df-evpm 18598  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-rnghom 19445  df-drng 19479  df-subrg 19508  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-cnfld 20521  df-zring 20593  df-zrh 20626  df-dsmm 20851  df-frlm 20866  df-mat 20992  df-mdet 21169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator