MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregord13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregord13 29382
Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐟-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 29381. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregord13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpl2 1193 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → 𝑉 ∈ Fin)
3 simpr 486 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → 𝐺 RegUSGraph 𝐟)
4 frgrreggt1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54frgrregord013 29381 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 0 √ (♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))
61, 2, 3, 5syl3anc 1372 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 0 √ (♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))
7 hasheq0 14270 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8 eqneqall 2955 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
97, 8syl6bi 253 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))))
109com23 86 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))))
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))))
12113imp 1112 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
1312adantr 482 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
1413com12 32 . . 3 ((♯‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
15 orc 866 . . . 4 ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))
1615a1d 25 . . 3 ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
17 olc 867 . . . 4 ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))
1817a1d 25 . . 3 ((♯‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
1914, 16, 183jaoi 1428 . 2 (((♯‘𝑉) = 0 √ (♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3)))
206, 19mpcom 38 1 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐟) → ((♯‘𝑉) = 1 √ (♯‘𝑉) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   √ wo 846   √ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  âˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  â€˜cfv 6501  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059  3c3 12216  â™¯chash 14237  Vtxcvtx 27989   RegUSGraph crusgr 28546   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-reps 14664  df-csh 14684  df-s2 14744  df-s3 14745  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-vtx 27991  df-iedg 27992  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-fusgr 28307  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-rgr 28547  df-rusgr 28548  df-wlks 28589  df-wlkson 28590  df-trls 28682  df-trlson 28683  df-pths 28706  df-spths 28707  df-pthson 28708  df-spthson 28709  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wwlksnon 28819  df-wspthsn 28820  df-wspthsnon 28821  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074  df-conngr 29173  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  29383
  Copyright terms: Public domain W3C validator