Theorem frgrregord13 30331

Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 30330. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregord13	⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝑉 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
4		frgrreggt1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	frgrregord013 30330	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
7		hasheq0 14334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8		eqneqall 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
9	7, 8	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))))
12	11	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
14	13	com12 32	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
15		orc 867	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
16	15	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
17		olc 868	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
18	17	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
19	14, 16, 18	3jaoi 1430	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
20	6, 19	mpcom 38	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4298   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  Fincfn 8920  0cc0 11074  1c1 11075  3c3 12243  ♯chash 14301  Vtxcvtx 28929   RegUSGraph crusgr 29490   FriendGraph cfrgr 30193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-xadd 13079  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-word 14485  df-lsw 14534  df-concat 14542  df-s1 14567  df-substr 14612  df-pfx 14642  df-reps 14740  df-csh 14760  df-s2 14820  df-s3 14821  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-sum 15659  df-dvds 16229  df-gcd 16471  df-prm 16648  df-phi 16742  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-ushgr 28992  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-uspgr 29083  df-usgr 29084  df-fusgr 29250  df-nbgr 29266  df-vtxdg 29400  df-rgr 29491  df-rusgr 29492  df-wlks 29533  df-wlkson 29534  df-trls 29626  df-trlson 29627  df-pths 29650  df-spths 29651  df-pthson 29652  df-spthson 29653  df-wwlks 29766  df-wwlksn 29767  df-wwlksnon 29768  df-wspthsn 29769  df-wspthsnon 29770  df-clwwlk 29917  df-clwwlkn 29960  df-clwwlknon 30023  df-conngr 30122  df-frgr 30194

This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  30332