Theorem frgrregord13 30362

Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 30361. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregord13	⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝑉 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
4		frgrreggt1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	frgrregord013 30361	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
7		hasheq0 14385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8		eqneqall 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
9	7, 8	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))))
12	11	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
14	13	com12 32	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
15		orc 867	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
16	15	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
17		olc 868	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
18	17	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
19	14, 16, 18	3jaoi 1429	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
20	6, 19	mpcom 38	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4315   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  Fincfn 8968  0cc0 11138  1c1 11139  3c3 12305  ♯chash 14352  Vtxcvtx 28960   RegUSGraph crusgr 29521   FriendGraph cfrgr 30224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-disj 5093  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-oadd 8493  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-xadd 13138  df-ico 13376  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-mod 13893  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-word 14536  df-lsw 14584  df-concat 14592  df-s1 14617  df-substr 14662  df-pfx 14692  df-reps 14790  df-csh 14810  df-s2 14870  df-s3 14871  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-sum 15706  df-dvds 16274  df-gcd 16515  df-prm 16692  df-phi 16786  df-vtx 28962  df-iedg 28963  df-edg 29012  df-uhgr 29022  df-ushgr 29023  df-upgr 29046  df-umgr 29047  df-uspgr 29114  df-usgr 29115  df-fusgr 29281  df-nbgr 29297  df-vtxdg 29431  df-rgr 29522  df-rusgr 29523  df-wlks 29564  df-wlkson 29565  df-trls 29657  df-trlson 29658  df-pths 29681  df-spths 29682  df-pthson 29683  df-spthson 29684  df-wwlks 29797  df-wwlksn 29798  df-wwlksnon 29799  df-wspthsn 29800  df-wspthsnon 29801  df-clwwlk 29948  df-clwwlkn 29991  df-clwwlknon 30054  df-conngr 30153  df-frgr 30225

This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  30363