Theorem frgrregord13 30375

Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 30374. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregord13	⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝑉 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
4		frgrreggt1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	frgrregord013 30374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
7		hasheq0 14304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8		eqneqall 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
9	7, 8	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))))
12	11	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
14	13	com12 32	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
15		orc 867	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
16	15	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
17		olc 868	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
18	17	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
19	14, 16, 18	3jaoi 1430	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
20	6, 19	mpcom 38	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  0cc0 11044  1c1 11045  3c3 12218  ♯chash 14271  Vtxcvtx 28976   RegUSGraph crusgr 29537   FriendGraph cfrgr 30237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-reps 14710  df-csh 14730  df-s2 14790  df-s3 14791  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-phi 16712  df-vtx 28978  df-iedg 28979  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-ushgr 29039  df-upgr 29062  df-umgr 29063  df-uspgr 29130  df-usgr 29131  df-fusgr 29297  df-nbgr 29313  df-vtxdg 29447  df-rgr 29538  df-rusgr 29539  df-wlks 29580  df-wlkson 29581  df-trls 29671  df-trlson 29672  df-pths 29694  df-spths 29695  df-pthson 29696  df-spthson 29697  df-wwlks 29810  df-wwlksn 29811  df-wwlksnon 29812  df-wspthsn 29813  df-wspthsnon 29814  df-clwwlk 29961  df-clwwlkn 30004  df-clwwlknon 30067  df-conngr 30166  df-frgr 30238

This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  30376