Theorem frgrregord13 30344

Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 30343. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregord13	⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝑉 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
4		frgrreggt1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	frgrregord013 30343	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
7		hasheq0 14270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8		eqneqall 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
9	7, 8	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
10	9	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))))
12	11	3imp 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
14	13	com12 32	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
15		orc 867	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
16	15	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
17		olc 868	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
18	17	a1d 25	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
19	14, 16, 18	3jaoi 1430	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
20	6, 19	mpcom 38	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  0cc0 11009  1c1 11010  3c3 12184  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28945   RegUSGraph crusgr 29506   FriendGraph cfrgr 30206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-reps 14675  df-csh 14695  df-s2 14755  df-s3 14756  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-vtx 28947  df-iedg 28948  df-edg 28997  df-uhgr 29007  df-ushgr 29008  df-upgr 29031  df-umgr 29032  df-uspgr 29099  df-usgr 29100  df-fusgr 29266  df-nbgr 29282  df-vtxdg 29416  df-rgr 29507  df-rusgr 29508  df-wlks 29549  df-wlkson 29550  df-trls 29640  df-trlson 29641  df-pths 29663  df-spths 29664  df-pthson 29665  df-spthson 29666  df-wwlks 29779  df-wwlksn 29780  df-wwlksnon 29781  df-wspthsn 29782  df-wspthsnon 29783  df-clwwlk 29930  df-clwwlkn 29973  df-clwwlknon 30036  df-conngr 30135  df-frgr 30207

This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  30345