Theorem mapdval3N 42505

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdval2.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdval3N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = ∪ 𝑣 ∈ 𝑇 {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣   𝐶,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑆(𝑣, 𝑓, 𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓, 𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣, 𝑓, 𝑔)   𝐾(𝑣, 𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣, 𝑓, 𝑔)   𝑁(𝑓, 𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣, 𝑔)

Proof of Theorem mapdval3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdval2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdval2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		mapdval2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdval2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdval2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
11		mapdval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdval2N 42504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
13		iunrab 5011	. 2 ⊢ ∪ 𝑣 ∈ 𝑇 {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})}
14	12, 13	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = ∪ 𝑣 ∈ 𝑇 {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {crab 3412  {csn 4584  ∪ ciun 4951  ‘cfv 6533  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  LFnlclfn 39931  LKerclk 39959  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DVecHcdvh 41952  ocHcoch 42221  mapdcmpd 42498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-lshyp 39851  df-lfl 39932  df-lkr 39960  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tgrp 41617  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-dveca 41877  df-disoa 41903  df-dvech 41953  df-dib 42013  df-dic 42047  df-dih 42103  df-doch 42222  df-djh 42269  df-mapd 42499

This theorem is used by: (None)