Theorem ply1annig1p 33881

Description: The ideal 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annig1p.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
ply1annig1p.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ply1annig1p	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐸(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1annig1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		issdrg 20733	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20687	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	3	simp2d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
11		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
13		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
14	5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13	ply1annidl 33879	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))
15		ply1annig1p.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
17		ply1annig1p.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
18	6, 15, 16, 17	ig1prsp 26154	. 2 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))
19	4, 14, 18	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  {csn 4582  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  0_gc0g 17371  SubRingcsubrg 20514  DivRingcdr 20674  Fieldcfield 20675  SubDRingcsdrg 20731  LIdealclidl 21173  RSpancrsp 21174  Poly₁cpl1 22129   evalSub₁ ces1 22269  idlGen_1pcig1p 26103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-rlreg 20639  df-drng 20676  df-field 20677  df-sdrg 20732  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-cnfld 21322  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evls1 22271  df-evl1 22272  df-mdeg 26028  df-deg1 26029  df-mon1 26104  df-uc1p 26105  df-q1p 26106  df-r1p 26107  df-ig1p 26108

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33889  minplym1p  33890  minplynzm1p  33891  algextdeglem4  33897  algextdeglem5  33898