Theorem ply1annig1p 33700

Description: The ideal 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annig1p.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
ply1annig1p.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ply1annig1p	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐸(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1annig1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		issdrg 20703	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	3	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
11		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
13		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
14	5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13	ply1annidl 33698	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))
15		ply1annig1p.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
16		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
17		ply1annig1p.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
18	6, 15, 16, 17	ig1prsp 26092	. 2 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))
19	4, 14, 18	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  {csn 4591  dom cdm 5640  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  0_gc0g 17408  SubRingcsubrg 20484  DivRingcdr 20644  Fieldcfield 20645  SubDRingcsdrg 20701  LIdealclidl 21122  RSpancrsp 21123  Poly₁cpl1 22067   evalSub₁ ces1 22206  idlGen_1pcig1p 26041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-srg 20102  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-rhm 20387  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-drng 20646  df-field 20647  df-sdrg 20702  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-lidl 21124  df-rsp 21125  df-cnfld 21271  df-assa 21768  df-asp 21769  df-ascl 21770  df-psr 21824  df-mvr 21825  df-mpl 21826  df-opsr 21828  df-evls 21987  df-evl 21988  df-psr1 22070  df-vr1 22071  df-ply1 22072  df-coe1 22073  df-evls1 22208  df-evl1 22209  df-mdeg 25966  df-deg1 25967  df-mon1 26042  df-uc1p 26043  df-q1p 26044  df-r1p 26045  df-ig1p 26046

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33708  minplym1p  33709  minplynzm1p  33710  algextdeglem4  33716  algextdeglem5  33717