Theorem ply1annig1p 34060

Description: The ideal 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annig1p.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
ply1annig1p.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
ply1annig1p	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐸(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑞)   𝐾(𝑞)

Proof of Theorem ply1annig1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
2		issdrg 20870	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
8		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	3	simp2d 1159	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
11		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
13		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
14	5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13	ply1annidl 34058	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))
15		ply1annig1p.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
17		ply1annig1p.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑃)
18	6, 15, 16, 17	ig1prsp 26317	. 2 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))
19	4, 14, 18	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐾‘{(𝐺‘𝑄)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  {csn 4588  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491  SubRingcsubrg 20653  DivRingcdr 20812  Fieldcfield 20813  SubDRingcsdrg 20868  LIdealclidl 21309  RSpancrsp 21310  Poly₁cpl1 22316   evalSub₁ ces1 22452  idlGen_1pcig1p 26266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-drng 20814  df-field 20815  df-sdrg 20869  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-cnfld 21502  df-assa 21982  df-asp 21983  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mvr 22039  df-mpl 22040  df-opsr 22042  df-evls 22204  df-evl 22205  df-psr1 22319  df-vr1 22320  df-ply1 22321  df-coe1 22322  df-evls1 22454  df-evl1 22455  df-mdeg 26191  df-deg1 26192  df-mon1 26267  df-uc1p 26268  df-q1p 26269  df-r1p 26270  df-ig1p 26271

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  34068  minplym1p  34069  minplynzm1p  34070  algextdeglem4  34076  algextdeglem5  34077