Theorem zzedom 33939

Description: The ring of integers is a Euclidean domain. Note that the hypothesis abs = (EuclF‘ℤ_ring) could be dropped if the definition of ℂ_fld is adapted. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
zzedom.1	⊢ abs = (EuclF‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
zzedom	⊢ ℤring ∈ EDomn

Proof of Theorem zzedom

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringidom 33938	. 2 ⊢ ℤring ∈ IDomn
2		absf 15537	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
4		zsscn 12731	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
5		ssdifss 4079	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → (ℤ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
6	4, 5	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℤ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
7	3, 6	feqresmpt 6980	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (abs ↾ (ℤ ∖ {0})) = (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ (abs‘𝑥)))
8	7	mptru 1577	. . . 4 ⊢ (abs ↾ (ℤ ∖ {0})) = (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ (abs‘𝑥))
9		eldifi 4070	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℤ)
10		nn0abscl 15511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (abs‘𝑥) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (abs‘𝑥) ∈ ℕ0)
12	8, 11	fmpti 7139	. . 3 ⊢ (abs ↾ (ℤ ∖ {0})):(ℤ ∖ {0})⟶ℕ0
13		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟))
14		simp-5r 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑞 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑞 ∈ ℂ)
16		difssd 4076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (ℤ ∖ {0}) ⊆ ℤ)
17	16	sselda 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	ad5antr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	15, 19	mulcomd 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → (𝑞 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑞))
21	20	oveq1d 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟) = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟))
22	13, 21	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟))
23		df-ne 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑟 = 0)
24		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → 𝑟 < (abs‘𝑦))
25		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℤ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → 𝑟 ∈ ℤ)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → 𝑟 ≠ 0)
28	26, 27	eldifsnd 4750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → 𝑟 ∈ (ℤ ∖ {0}))
29	28	fvresd 6931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) = (abs‘𝑟))
30	25	zred 12833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
31		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
32	30, 31	absidd 15622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
34	29, 33	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) = 𝑟)
35		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))
36	35	fvresd 6931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
37	24, 34, 36	3brtr4d 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ∧ 𝑟 ≠ 0) → ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦))
38	37	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → (𝑟 ≠ 0 → ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦)))
39	23, 38	biimtrrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → (¬ 𝑟 = 0 → ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦)))
40	39	orrd 877	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦)))
41	22, 40	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦)) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → (𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦))))
42	41	3anasss 1381	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟))) → (𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦))))
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℤ)
44		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))
45	44	eldifsnbd 4749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
46		divalg 16605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)))
47		reurex 3373	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)))
49	43, 17, 45, 48	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)))
50		rexcom 3295	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)))
51	49, 50	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → ∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝑦) ∧ 𝑥 = ((𝑞 · 𝑦) + 𝑟)))
52	42, 51	reximddv2 3225	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})) → ∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦))))
53	52	rgen2 3206	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦)))
54	12, 53	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0})):(ℤ ∖ {0})⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦))))
55		zringbas 21792	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
56		zring0 21797	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
57		zringplusg 21793	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℤring)
58		zringmulr 21796	. . 3 ⊢ · = (.r‘ℤring)
59		zzedom.1	. . . 4 ⊢ abs = (EuclF‘ℤring)
60	59	reseq1i 5978	. . 3 ⊢ (abs ↾ (ℤ ∖ {0})) = ((EuclF‘ℤring) ↾ (ℤ ∖ {0}))
61	55, 56, 57, 58, 60	isedom 33934	. 2 ⊢ (ℤring ∈ EDomn ↔ (ℤring ∈ IDomn ∧ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0})):(ℤ ∖ {0})⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑟 ∈ ℤ (𝑥 = ((𝑦 · 𝑞) + 𝑟) ∧ (𝑟 = 0 ∨ ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑟) < ((abs ↾ (ℤ ∖ {0}))‘𝑦))))))
62	1, 54, 61	mpbir2an 724	1 ⊢ ℤring ∈ EDomn

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5658  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230   + caddc 11233   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  abscabs 15433  IDomncidom 20978  ℤ_ringczring 21785  EuclFceuf 33928  EDomncedom 33932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-nzr 20796  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-rlreg 20979  df-domn 20980  df-idom 20981  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-edom 33933

This theorem is used by: (None)