Theorem ply1edom 33959

Description: The univariate polynomials over a field 𝑅 form a Euclidean domain. Note that the hypothesis (deg₁‘𝑅) = (EuclF‘𝑃) could be dropped if the definition of Poly₁ would be adapted. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1edom.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1edom.2	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1edom.3	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
ply1edom.4	⊢ (deg1‘𝑅) = (EuclF‘𝑃)
ply1edom.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)

Assertion

Ref	Expression
ply1edom	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ EDomn)

Proof of Theorem ply1edom

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1edom.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
2		fldidom 21080	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ IDomn)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		ply1edom.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1idom 26498	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ∈ IDomn)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ IDomn)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
8		ply1edom.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
9	7, 4, 8	deg1xrf 26454	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅):𝑈⟶ℝ*
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg1‘𝑅):𝑈⟶ℝ*)
11		difssd 4076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝑍}) ⊆ 𝑈)
12		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
13	10	ffund 6744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (deg1‘𝑅))
14	3	idomringd 21030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑅 ∈ Ring)
16	11	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑓 ∈ 𝑈)
17		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑓 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍}))
18	17	eldifsnbd 4751	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑓 ≠ 𝑍)
19		ply1edom.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
20	7, 4, 19, 8	deg1nn0cl 26461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ 𝑍) → ((deg1‘𝑅)‘𝑓) ∈ ℕ0)
21	15, 16, 18, 20	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → ((deg1‘𝑅)‘𝑓) ∈ ℕ0)
22	12, 13, 21	funimassd 6982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅) “ (𝑈 ∖ {𝑍})) ⊆ ℕ0)
23	10, 11, 22	fssrescdmd 7159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍})):(𝑈 ∖ {𝑍})⟶ℕ0)
24		oveq2 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = (𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔) → (𝑔(.r‘𝑃)𝑞) = (𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔)))
25	24	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = (𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔) → ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)𝑟))
26	25	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = (𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔) → (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ↔ 𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)𝑟)))
27	26	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔) → ((𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))) ↔ (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔)))))
28		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)𝑟) = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
29	28	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)𝑟) ↔ 𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔))))
30		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → (𝑟 = 𝑍 ↔ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍))
31		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) = (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
32	31	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → ((((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔) ↔ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔)))
33	30, 32	orbi12d 932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → ((𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔)) ↔ ((𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))))
34	29, 33	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) → ((𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))) ↔ (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) ∧ ((𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔)))))
35	14	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑅 ∈ Ring)
36		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑓 ∈ 𝑈)
37	1	flddrngd 21045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
38	37	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑅 ∈ DivRing)
39		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍}))
40	39	eldifad 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑔 ∈ 𝑈)
41	39	eldifsnbd 4751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑔 ≠ 𝑍)
42		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
43	4, 8, 19, 42	drnguc1p 26547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑔 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ≠ 𝑍) → 𝑔 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44	38, 40, 41, 43	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑔 ∈ (Unic1p‘𝑅))
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
46	45, 4, 8, 42	q1pcl 26530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔) ∈ 𝑈)
47	35, 36, 44, 46	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → (𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔) ∈ 𝑈)
48		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
49	48, 4, 8, 42	r1pcl 26532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ∈ 𝑈)
50	35, 36, 44, 49	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ∈ 𝑈)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
52		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
53	4, 8, 42, 45, 48, 51, 52	r1pid 26534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → 𝑓 = (((𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔)(.r‘𝑃)𝑔)(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
54	35, 36, 44, 53	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑓 = (((𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔)(.r‘𝑃)𝑔)(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
55	6	idomcringd 21029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
56	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑃 ∈ CRing)
57	8, 51, 56, 47, 40	crngcomd 20533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → ((𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔)(.r‘𝑃)𝑔) = (𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔)))
58	57	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → (((𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔)(.r‘𝑃)𝑔)(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
59	54, 58	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → 𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
60		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍) → (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍)
61	48, 4, 8, 42, 7	r1pdeglt 26533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < ((deg1‘𝑅)‘𝑔))
62	35, 36, 44, 61	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < ((deg1‘𝑅)‘𝑔))
63	62	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < ((deg1‘𝑅)‘𝑔))
64	50	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ∈ 𝑈)
65		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍)
66	64, 65	eldifsnd 4752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ∈ (𝑈 ∖ {𝑍}))
67	66	fvresd 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)))
68		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍}))
69	68	fvresd 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔) = ((deg1‘𝑅)‘𝑔))
70	63, 67, 69	3brtr4d 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) ∧ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍) → (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))
71		exmidne 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍 ∨ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍)
72	71	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → ((𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍 ∨ (𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) ≠ 𝑍))
73	60, 70, 72	orim12da 980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → ((𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔)))
74	59, 73	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)(𝑓(quot1p‘𝑅)𝑔))(+g‘𝑃)(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) ∧ ((𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔) = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘(𝑓(rem1p‘𝑅)𝑔)) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))))
75	27, 34, 47, 50, 74	2rspcedvdw 3593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑈) ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 ∃𝑟 ∈ 𝑈 (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))))
76	75	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑈 ∧ 𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍}))) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 ∃𝑟 ∈ 𝑈 (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))))
77	76	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑈 ∀𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})∃𝑞 ∈ 𝑈 ∃𝑟 ∈ 𝑈 (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))))
78	23, 77	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍})):(𝑈 ∖ {𝑍})⟶ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑈 ∀𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})∃𝑞 ∈ 𝑈 ∃𝑟 ∈ 𝑈 (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔)))))
79		ply1edom.4	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (EuclF‘𝑃)
80	79	reseq1i 5982	. . 3 ⊢ ((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍})) = ((EuclF‘𝑃) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))
81	8, 19, 52, 51, 80	isedom 33953	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ EDomn ↔ (𝑃 ∈ IDomn ∧ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍})):(𝑈 ∖ {𝑍})⟶ℕ0 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑈 ∀𝑔 ∈ (𝑈 ∖ {𝑍})∃𝑞 ∈ 𝑈 ∃𝑟 ∈ 𝑈 (𝑓 = ((𝑔(.r‘𝑃)𝑞)(+g‘𝑃)𝑟) ∧ (𝑟 = 𝑍 ∨ (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑟) < (((deg1‘𝑅) ↾ (𝑈 ∖ {𝑍}))‘𝑔))))))
82	6, 78, 81	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ EDomn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  EuclFceuf 17485  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  IDomncidom 20996  DivRingcdr 21031  Fieldcfield 21032  Poly₁cpl1 22550  deg₁cdg1 26427  Unic_1pcuc1p 26500  quot_1pcq1p 26501  rem_1pcr1p 26502  EDomncedom 33951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-idom 20999  df-drng 21033  df-field 21034  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-cnfld 21730  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-vr1 22554  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-mdeg 26428  df-deg1 26429  df-uc1p 26505  df-q1p 26506  df-r1p 26507  df-edom 33952

This theorem is used by: (None)