Theorem ffvelrnd 5564

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelrnd.1	|- ( ph -> F : A --> B )
ffvelrnd.2	|- ( ph -> C e. A )

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnd	|- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		ffvelrnd.1	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
3	2	ffvelrnda 5563	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
4	1, 3	mpdan 418	1 |- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   -->wf 5127   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  isotr  5725  caofinvl  6012  rdgon  6291  frecabcl  6304  phplem4dom  6764  fidceq  6771  dif1en  6781  fin0  6787  fin0or  6788  infm  6806  en2eqpr  6809  fidcenumlemrks  6849  fidcenumlemr  6851  supisoti  6905  ordiso2  6928  updjudhcoinlf  6973  updjudhcoinrg  6974  caseinl  6984  caseinr  6985  difinfsnlem  6992  difinfsn  6993  ctmlemr  7001  ctssdclemn0  7003  ctssdc  7006  enumctlemm  7007  enumct  7008  enomnilem  7018  finomni  7020  ismkvnex  7037  enmkvlem  7043  enwomnilem  7050  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076  cauappcvgprlemm  7477  cauappcvgprlemdisj  7483  cauappcvgprlemloc  7484  cauappcvgprlemladdfu  7486  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  cauappcvgprlem1  7491  cauappcvgprlem2  7492  caucvgprlemnkj  7498  caucvgprlemnbj  7499  caucvgprlemm  7500  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlemladdrl  7510  caucvgprlem1  7511  caucvgprlem2  7512  caucvgprprlemnkltj  7521  caucvgprprlemnkeqj  7522  caucvgprprlemnbj  7525  caucvgprprlemmu  7527  caucvgprprlemopl  7529  caucvgprprlemloc  7535  caucvgprprlemexbt  7538  caucvgprprlemexb  7539  caucvgprprlemaddq  7540  caucvgprprlem1  7541  caucvgprprlem2  7542  caucvgsrlemcau  7625  caucvgsrlemgt1  7627  caucvgsrlemoffcau  7630  caucvgsrlemoffres  7632  caucvgsr  7634  axcaucvglemval  7729  axcaucvglemcau  7730  axcaucvglemres  7731  fseq1p1m1  9905  4fvwrd4  9948  fvinim0ffz  10049  frecuzrdgg  10220  frecuzrdgsuctlem  10227  seq3val  10262  seqvalcd  10263  seq3p1  10266  seqp1cd  10270  ser3mono  10282  seq3split  10283  seq3caopr2  10286  iseqf1olemkle  10288  iseqf1olemklt  10289  iseqf1olemqcl  10290  iseqf1olemnab  10292  iseqf1olemmo  10296  iseqf1olemqk  10298  iseqf1olemjpcl  10299  iseqf1olemqpcl  10300  iseqf1olemfvp  10301  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1olemqsum  10304  seq3f1olemstep  10305  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  seq3z  10315  seq3distr  10317  ser3ge0  10321  ser3le  10322  exp3vallem  10325  exp3val  10326  bcval5  10541  hashfz1  10561  resunimafz0  10606  leisorel  10612  zfz1isolemiso  10614  seq3coll  10617  caucvgrelemcau  10784  caucvgre  10785  cvg1nlemf  10787  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  recvguniqlem  10798  resqrexlemdecn  10816  resqrexlemcalc3  10820  resqrexlemnmsq  10821  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemoverl  10825  resqrexlemglsq  10826  resqrexlemga  10827  clim2ser  11138  clim2ser2  11139  climrecvg1n  11149  climcvg1nlem  11150  serf0  11153  sumeq2  11160  fsum3cvg  11179  summodclem2a  11182  fsum3  11188  fisumss  11193  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  fsummulc2  11249  fsumrelem  11272  isumshft  11291  cvgratnnlemseq  11327  cvgratnnlemrate  11331  clim2prod  11340  clim2divap  11341  prodfrecap  11347  prodfdivap  11348  ntrivcvgap  11349  prodeq2  11358  fproddccvg  11373  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  fprodseq  11384  effsumlt  11435  nn0seqcvgd  11758  ialgrlem1st  11759  ennnfonelemdc  11948  ennnfonelemjn  11951  ennnfonelemg  11952  ennnfonelemp1  11955  ennnfonelemom  11957  ennnfonelemhdmp1  11958  ennnfonelemss  11959  ennnfonelemkh  11961  ennnfonelemhf1o  11962  ennnfonelemex  11963  ennnfonelemhom  11964  ennnfonelemnn0  11971  ennnfonelemim  11973  ctinfomlemom  11976  ctiunctlemudc  11986  ctiunctlemf  11987  ctiunctlemfo  11988  iscnp4  12426  cnptopco  12430  lmtopcnp  12458  upxp  12480  uptx  12482  txlm  12487  comet  12707  metcnp3  12719  metcnp  12720  metcnp2  12721  metcnpi3  12725  elcncf2  12769  cncfco  12786  limcimolemlt  12841  cnplimcim  12844  cnplimclemle  12845  cnplimclemr  12846  limccnpcntop  12852  dvlemap  12857  dvcnp2cntop  12871  dvaddxxbr  12873  dvmulxxbr  12874  dvcoapbr  12879  dvcjbr  12880  dvef  12896  pwle2  13366  subctctexmid  13369  nnsf  13374  peano4nninf  13375  nninfalllem1  13378  nninfsellemdc  13381  nninfsellemeq  13385  nninfsellemqall  13386  nninfsellemeqinf  13387  nninfomnilem  13389  isomninnlem  13400  trilpolemeq1  13408  trilpolemlt1  13409  iswomninnlem  13417  ismkvnnlem  13419