Theorem ffvelrnd 5556

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelrnd.1	|- ( ph -> F : A --> B )
ffvelrnd.2	|- ( ph -> C e. A )

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnd	|- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		ffvelrnd.1	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
3	2	ffvelrnda 5555	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
4	1, 3	mpdan 417	1 |- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   -->wf 5119   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  isotr  5717  caofinvl  6004  rdgon  6283  frecabcl  6296  phplem4dom  6756  fidceq  6763  dif1en  6773  fin0  6779  fin0or  6780  infm  6798  en2eqpr  6801  fidcenumlemrks  6841  fidcenumlemr  6843  supisoti  6897  ordiso2  6920  updjudhcoinlf  6965  updjudhcoinrg  6966  caseinl  6976  caseinr  6977  difinfsnlem  6984  difinfsn  6985  ctmlemr  6993  ctssdclemn0  6995  ctssdc  6998  enumctlemm  6999  enumct  7000  enomnilem  7010  finomni  7012  ismkvnex  7029  exmidfodomrlemr  7058  exmidfodomrlemrALT  7059  cauappcvgprlemm  7453  cauappcvgprlemdisj  7459  cauappcvgprlemloc  7460  cauappcvgprlemladdfu  7462  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgprlem1  7467  cauappcvgprlem2  7468  caucvgprlemnkj  7474  caucvgprlemnbj  7475  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemloc  7483  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprlem1  7487  caucvgprlem2  7488  caucvgprprlemnkltj  7497  caucvgprprlemnkeqj  7498  caucvgprprlemnbj  7501  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemopl  7505  caucvgprprlemloc  7511  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlemexb  7515  caucvgprprlemaddq  7516  caucvgprprlem1  7517  caucvgprprlem2  7518  caucvgsrlemcau  7601  caucvgsrlemgt1  7603  caucvgsrlemoffcau  7606  caucvgsrlemoffres  7608  caucvgsr  7610  axcaucvglemval  7705  axcaucvglemcau  7706  axcaucvglemres  7707  fseq1p1m1  9874  4fvwrd4  9917  fvinim0ffz  10018  frecuzrdgg  10189  frecuzrdgsuctlem  10196  seq3val  10231  seqvalcd  10232  seq3p1  10235  seqp1cd  10239  ser3mono  10251  seq3split  10252  seq3caopr2  10255  iseqf1olemkle  10257  iseqf1olemklt  10258  iseqf1olemqcl  10259  iseqf1olemnab  10261  iseqf1olemmo  10265  iseqf1olemqk  10267  iseqf1olemjpcl  10268  iseqf1olemqpcl  10269  iseqf1olemfvp  10270  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemqsum  10273  seq3f1olemstep  10274  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  seq3z  10284  seq3distr  10286  ser3ge0  10290  ser3le  10291  exp3vallem  10294  exp3val  10295  bcval5  10509  hashfz1  10529  resunimafz0  10574  leisorel  10580  zfz1isolemiso  10582  seq3coll  10585  caucvgrelemcau  10752  caucvgre  10753  cvg1nlemf  10755  cvg1nlemcau  10756  cvg1nlemres  10757  recvguniqlem  10766  resqrexlemdecn  10784  resqrexlemcalc3  10788  resqrexlemnmsq  10789  resqrexlemnm  10790  resqrexlemcvg  10791  resqrexlemoverl  10793  resqrexlemglsq  10794  resqrexlemga  10795  clim2ser  11106  clim2ser2  11107  climrecvg1n  11117  climcvg1nlem  11118  serf0  11121  sumeq2  11128  fsum3cvg  11147  summodclem2a  11150  fsum3  11156  fisumss  11161  fsumcl2lem  11167  fsumadd  11175  fsummulc2  11217  fsumrelem  11240  isumshft  11259  cvgratnnlemseq  11295  cvgratnnlemrate  11299  clim2prod  11308  clim2divap  11309  prodfrecap  11315  prodfdivap  11316  ntrivcvgap  11317  prodeq2  11326  fproddccvg  11341  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  effsumlt  11398  nn0seqcvgd  11722  ialgrlem1st  11723  ennnfonelemdc  11912  ennnfonelemjn  11915  ennnfonelemg  11916  ennnfonelemp1  11919  ennnfonelemom  11921  ennnfonelemhdmp1  11922  ennnfonelemss  11923  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemhom  11928  ennnfonelemnn0  11935  ennnfonelemim  11937  ctinfomlemom  11940  ctiunctlemudc  11950  ctiunctlemf  11951  ctiunctlemfo  11952  iscnp4  12387  cnptopco  12391  lmtopcnp  12419  upxp  12441  uptx  12443  txlm  12448  comet  12668  metcnp3  12680  metcnp  12681  metcnp2  12682  metcnpi3  12686  elcncf2  12730  cncfco  12747  limcimolemlt  12802  cnplimcim  12805  cnplimclemle  12806  cnplimclemr  12807  limccnpcntop  12813  dvlemap  12818  dvcnp2cntop  12832  dvaddxxbr  12834  dvmulxxbr  12835  dvcoapbr  12840  dvcjbr  12841  dvef  12856  pwle2  13193  subctctexmid  13196  nnsf  13199  peano4nninf  13200  nninfalllem1  13203  nninfsellemdc  13206  nninfsellemeq  13210  nninfsellemqall  13211  nninfsellemeqinf  13212  nninfomnilem  13214  isomninnlem  13225  trilpolemeq1  13233  trilpolemlt1  13234