Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reglogexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reglogexp 40253
 Description: Power law for general log. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (New usage is discouraged.) Use relogbzexp 25475 instead.
Assertion
Ref Expression
reglogexp ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → ((log‘(𝐴𝑁)) / (log‘𝐶)) = (𝑁 · ((log‘𝐴) / (log‘𝐶))))

Proof of Theorem reglogexp
StepHypRef Expression
1 relogexp 25300 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
213adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → (log‘(𝐴𝑁)) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
32oveq1d 7171 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → ((log‘(𝐴𝑁)) / (log‘𝐶)) = ((𝑁 · (log‘𝐴)) / (log‘𝐶)))
4 zcn 12038 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
6 relogcl 25280 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10720 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
873ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9 relogcl 25280 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+ → (log‘𝐶) ∈ ℝ)
109recnd 10720 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ+ → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
13 logne0 25284 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1) → (log‘𝐶) ≠ 0)
14133ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → (log‘𝐶) ≠ 0)
155, 8, 12, 14divassd 11502 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) / (log‘𝐶)) = (𝑁 · ((log‘𝐴) / (log‘𝐶))))
163, 15eqtrd 2793 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 1)) → ((log‘(𝐴𝑁)) / (log‘𝐶)) = (𝑁 · ((log‘𝐴) / (log‘𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593   / cdiv 11348  ℤcz 12033  ℝ+crp 12443  ↑cexp 13492  logclog 25259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-hom 16661  df-cco 16662  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-pt 16790  df-prds 16793  df-xrs 16847  df-qtop 16852  df-imas 16853  df-xps 16855  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-mulg 18306  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cld 21733  df-ntr 21734  df-cls 21735  df-nei 21812  df-lp 21850  df-perf 21851  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-haus 22029  df-tx 22276  df-hmeo 22469  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-xms 23036  df-ms 23037  df-tms 23038  df-cncf 23593  df-limc 24579  df-dv 24580  df-log 25261 This theorem is referenced by:  reglogexpbas  40256
 Copyright terms: Public domain W3C validator