Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem djhcl 40574
Description: Closure of subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djhcl.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhcl.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhcl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
djhcl.j ∨ = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
djhcl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
Proof of Theorem djhcl
StepHypRef Expression
1 djhcl.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 djhcl.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 djhcl.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . 3 ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 djhcl.j . . 3 ∨ = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5djhval 40572 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))))
7 inss1 4228 . . . 4 ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹)
8 djhcl.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
91, 8, 2, 3, 4dochcl 40527 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
109adantrr 715 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
111, 2, 8, 3dihrnss 40452 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
1210, 11syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
137, 12sstrid 3993 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉)
141, 8, 2, 3, 4dochcl 40527 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) βŠ† 𝑉) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))) ∈ ran 𝐼)
1513, 14syldan 591 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))) ∈ ran 𝐼)
166, 15eqeltrd 2833 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  DIsoHcdih 40402  ocHcoch 40521  joinHcdjh 40568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569
This theorem is referenced by:  djhljjN  40576  djhlsmcl  40588  djhcvat42  40589  dihjat1lem  40602  dihsmsprn  40604
  Copyright terms: Public domain W3C validator