Theorem dochsnnz 41160

Description: The orthocomplement of a singleton is nonzero. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnnz.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnnz.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnnz.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnnz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnnz.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnnz.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochsnnz	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Proof of Theorem dochsnnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnnz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsnnz.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsnnz.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsnnz.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		dochsnnz.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochsnnz.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dochocsn 41091	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
9	1, 2, 4, 5, 6, 7	dvh2dim 41155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑉 ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
10		eleq2 2815	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) = 𝑉 → (𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ↔ 𝑦 ∈ 𝑉))
11	10	biimprcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) = 𝑉 → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
12	11	necon3bd 2944	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉))
13	12	rexlimiv 3138	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉)
14	9, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉)
15	8, 14	eqnetrd 2998	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) ≠ 𝑉)
16		dochsnnz.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17	7	snssd 4809	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	1, 3, 2, 4, 16, 6, 17	dochn0nv 41085	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) ≠ 𝑉))
19	15, 18	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {csn 4624  ‘cfv 6544  Basecbs 17206  0_gc0g 17447  LSpanclspn 20942  HLchlt 39059  LHypclh 39694  DVecHcdvh 40788  ocHcoch 41057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-riotaBAD 38662

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-0g 17449  df-proset 18313  df-poset 18331  df-plt 18348  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-p0 18443  df-p1 18444  df-lat 18450  df-clat 18517  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19628  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-oppr 20310  df-dvdsr 20333  df-unit 20334  df-invr 20364  df-dvr 20377  df-drng 20703  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-lvec 21075  df-lsatoms 38685  df-oposet 38885  df-ol 38887  df-oml 38888  df-covers 38975  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060  df-llines 39208  df-lplanes 39209  df-lvols 39210  df-lines 39211  df-psubsp 39213  df-pmap 39214  df-padd 39506  df-lhyp 39698  df-laut 39699  df-ldil 39814  df-ltrn 39815  df-trl 39869  df-tgrp 40453  df-tendo 40465  df-edring 40467  df-dveca 40713  df-disoa 40739  df-dvech 40789  df-dib 40849  df-dic 40883  df-dih 40939  df-doch 41058  df-djh 41105

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  41635