Theorem dochsnnz 41706

Description: The orthocomplement of a singleton is nonzero. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnnz.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnnz.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnnz.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnnz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnnz.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnnz.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochsnnz	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Proof of Theorem dochsnnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnnz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsnnz.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsnnz.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsnnz.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		dochsnnz.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochsnnz.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dochocsn 41637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
9	1, 2, 4, 5, 6, 7	dvh2dim 41701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑉 ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
10		eleq2 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) = 𝑉 → (𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ↔ 𝑦 ∈ 𝑉))
11	10	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) = 𝑉 → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
12	11	necon3bd 2946	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉))
13	12	rexlimiv 3130	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉)
14	9, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ≠ 𝑉)
15	8, 14	eqnetrd 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) ≠ 𝑉)
16		dochsnnz.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
17	7	snssd 4765	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
18	1, 3, 2, 4, 16, 6, 17	dochn0nv 41631	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) ≠ 𝑉))
19	15, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  LSpanclspn 20922  HLchlt 39606  LHypclh 40240  DVecHcdvh 41334  ocHcoch 41603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39232  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-llines 39754  df-lplanes 39755  df-lvols 39756  df-lines 39757  df-psubsp 39759  df-pmap 39760  df-padd 40052  df-lhyp 40244  df-laut 40245  df-ldil 40360  df-ltrn 40361  df-trl 40415  df-tgrp 40999  df-tendo 41011  df-edring 41013  df-dveca 41259  df-disoa 41285  df-dvech 41335  df-dib 41395  df-dic 41429  df-dih 41485  df-doch 41604  df-djh 41651

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem3  42181