Theorem hashscontpowcl 43051

Description: Closure of E for https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf Theorem 6.1. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpowcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
hashscontpowcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
hashscontpowcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpowcl.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
hashscontpowcl.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpowcl.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpowcl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashscontpowcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpowcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpowcl.8	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4	2, 3	znfi 21804	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
6	1	nnnn0d 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
7	2	zncrng 21789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
9		crngring 20411	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
11		hashscontpowcl.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12	11	zrhrhm 21756	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
13		zringbas 21698	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13, 3	rhmf 20654	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15		fimass 6726	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
16	10, 12, 14, 15	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
17	5, 16	ssfid 9246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin)
18		hashcl 14445	. 2 ⊢ ((𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653   “ cima 5658  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Fincfn 8959  1c1 11150   · cmul 11154   / cdiv 11920  ℕcn 12282  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12640  ↑cexp 14150  ♯chash 14419   ∥ cdvds 16367   gcd cgcd 16609  ℙcprime 16786  Basecbs 17326  Ringcrg 20398  CRingccrg 20399   RingHom crh 20638  ℤ_ringczring 21691  ℤRHomczrh 21744  ℤ/nℤczn 21747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-hash 14420  df-dvds 16368  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-0g 17551  df-imas 17619  df-qus 17620  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-nsg 19273  df-eqg 19274  df-ghm 19367  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-rhm 20641  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-lidl 21425  df-rsp 21426  df-2idl 21482  df-cnfld 21618  df-zring 21692  df-zrh 21748  df-zn 21751

This theorem is used by:  aks6d1c3  43054  aks6d1c2lem4  43058  aks6d1c2  43061  aks6d1c6lem3  43103  aks6d1c7lem1  43111  aks6d1c7lem2  43112