Theorem hashscontpowcl 41623

Description: Closure of E for https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf Theorem 6.1. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpowcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
hashscontpowcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
hashscontpowcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpowcl.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
hashscontpowcl.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpowcl.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpowcl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashscontpowcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpowcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpowcl.8	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4	2, 3	znfi 21500	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
6	1	nnnn0d 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
7	2	zncrng 21485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
9		crngring 20192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
11		hashscontpowcl.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12	11	zrhrhm 21444	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
14		zringbas 21386	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
15	14, 3	rhmf 20431	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
17		fimass 6748	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
19	5, 18	ssfid 9298	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin)
20		hashcl 14355	. 2 ⊢ ((𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152   × cxp 5680   “ cima 5685  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Fincfn 8970  1c1 11147   · cmul 11151   / cdiv 11909  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ↑cexp 14066  ♯chash 14329   ∥ cdvds 16238   gcd cgcd 16476  ℙcprime 16649  Basecbs 17187  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415  ℤ_ringczring 21379  ℤRHomczrh 21432  ℤ/nℤczn 21435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-hash 14330  df-dvds 16239  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-zn 21439

This theorem is referenced by:  aks6d1c3  41626  aks6d1c2lem4  41630  aks6d1c2  41633  aks6d1c6lem3  41676  aks6d1c7lem1  41684  aks6d1c7lem2  41685