Theorem hashscontpowcl 42096

Description: Closure of E for https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf Theorem 6.1. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpowcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
hashscontpowcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
hashscontpowcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpowcl.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
hashscontpowcl.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpowcl.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpowcl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashscontpowcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpowcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpowcl.8	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4	2, 3	znfi 21533	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
6	1	nnnn0d 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
7	2	zncrng 21518	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
9		crngring 20211	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
11		hashscontpowcl.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12	11	zrhrhm 21485	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
13		zringbas 21427	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13, 3	rhmf 20454	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15		fimass 6736	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
16	10, 12, 14, 15	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
17	5, 16	ssfid 9283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin)
18		hashcl 14378	. 2 ⊢ ((𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5123   × cxp 5663   “ cima 5668  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Fincfn 8967  1c1 11138   · cmul 11142   / cdiv 11902  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ↑cexp 14084  ♯chash 14352   ∥ cdvds 16273   gcd cgcd 16514  ℙcprime 16691  Basecbs 17230  Ringcrg 20199  CRingccrg 20200   RingHom crh 20438  ℤ_ringczring 21420  ℤRHomczrh 21473  ℤ/nℤczn 21476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216  ax-mulf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-ec 8729  df-qs 8733  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-hash 14353  df-dvds 16274  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-0g 17458  df-imas 17525  df-qus 17526  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-cring 20202  df-oppr 20303  df-dvdsr 20326  df-rhm 20441  df-subrng 20515  df-subrg 20539  df-lmod 20829  df-lss 20899  df-lsp 20939  df-sra 21141  df-rgmod 21142  df-lidl 21181  df-rsp 21182  df-2idl 21223  df-cnfld 21328  df-zring 21421  df-zrh 21477  df-zn 21480

This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42099  aks6d1c2lem4  42103  aks6d1c2  42106  aks6d1c6lem3  42148  aks6d1c7lem1  42156  aks6d1c7lem2  42157