Theorem hashscontpowcl 42814

Description: Closure of E for https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf Theorem 6.1. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpowcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
hashscontpowcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
hashscontpowcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpowcl.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
hashscontpowcl.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpowcl.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpowcl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashscontpowcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpowcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpowcl.8	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4	2, 3	znfi 21680	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
6	1	nnnn0d 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
7	2	zncrng 21665	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
9		crngring 20329	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
11		hashscontpowcl.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12	11	zrhrhm 21632	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
13		zringbas 21574	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13, 3	rhmf 20568	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15		fimass 6729	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
16	10, 12, 14, 15	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
17	5, 16	ssfid 9231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin)
18		hashcl 14394	. 2 ⊢ ((𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   × cxp 5662   “ cima 5667  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Fincfn 8945  1c1 11103   · cmul 11107   / cdiv 11873  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ↑cexp 14099  ♯chash 14368   ∥ cdvds 16312   gcd cgcd 16554  ℙcprime 16731  Basecbs 17271  Ringcrg 20317  CRingccrg 20318   RingHom crh 20553  ℤ_ringczring 21567  ℤRHomczrh 21620  ℤ/nℤczn 21623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181  ax-mulf 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-hash 14369  df-dvds 16313  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-0g 17496  df-imas 17564  df-qus 17565  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-nsg 19192  df-eqg 19193  df-ghm 19286  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-rhm 20556  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-lidl 21312  df-rsp 21313  df-2idl 21362  df-cnfld 21494  df-zring 21568  df-zrh 21624  df-zn 21627

This theorem is referenced by:  aks6d1c3  42817  aks6d1c2lem4  42821  aks6d1c2  42824  aks6d1c6lem3  42866  aks6d1c7lem1  42874  aks6d1c7lem2  42875