Theorem hashscontpowcl 42915

Description: Closure of E for https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf Theorem 6.1. (Contributed by metakunt, 28-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashscontpowcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
hashscontpowcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
hashscontpowcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
hashscontpowcl.5	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
hashscontpowcl.6	⊢ 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃↑𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
hashscontpowcl.7	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
hashscontpowcl.8	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
hashscontpowcl	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashscontpowcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashscontpowcl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
2		hashscontpowcl.8	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4	2, 3	znfi 21718	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
6	1	nnnn0d 12569	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
7	2	zncrng 21703	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
9		crngring 20331	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
11		hashscontpowcl.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12	11	zrhrhm 21670	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
13		zringbas 21612	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14	13, 3	rhmf 20572	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15		fimass 6726	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
16	10, 12, 14, 15	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ⊆ (Base‘𝑌))
17	5, 16	ssfid 9225	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin)
18		hashcl 14397	. 2 ⊢ ((𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))) ∈ Fin → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0)))) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   × cxp 5659   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Fincfn 8939  1c1 11105   · cmul 11109   / cdiv 11875  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ↑cexp 14102  ♯chash 14371   ∥ cdvds 16314   gcd cgcd 16556  ℙcprime 16733  Basecbs 17273  Ringcrg 20319  CRingccrg 20320   RingHom crh 20556  ℤ_ringczring 21605  ℤRHomczrh 21658  ℤ/nℤczn 21661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-hash 14372  df-dvds 16315  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-imas 17566  df-qus 17567  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-nsg 19194  df-eqg 19195  df-ghm 19288  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-rhm 20559  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-lidl 21341  df-rsp 21342  df-2idl 21398  df-cnfld 21532  df-zring 21606  df-zrh 21662  df-zn 21665

This theorem is used by:  aks6d1c3  42918  aks6d1c2lem4  42922  aks6d1c2  42925  aks6d1c6lem3  42967  aks6d1c7lem1  42975  aks6d1c7lem2  42976