Theorem hvmapclN 42578

Description: Closure of the vector to functional map. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmap1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmap1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
hvmap1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmap1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
hvmap1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
hvmap1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
hvmap1o.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hvmapcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hvmapclN	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   𝑓,𝑂   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem hvmapclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmap1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmap1o.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmap1o.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmap1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hvmap1o.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hvmap1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		hvmap1o.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		hvmap1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		hvmap1o.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
10		hvmap1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11		hvmap1o.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hvmap1o.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hvmap1o 42577	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
14		f1of 6827	. . 3 ⊢ (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
16		hvmapcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17	15, 16	ffvelcdmd 7087	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ∖ cdif 3905  {csn 4594  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  LFnlclfn 39871  LKerclk 39899  LDualcld 39937  HLchlt 40164  LHypclh 40798  DVecHcdvh 41892  ocHcoch 42161  HVMapchvm 42570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39767

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39790  df-lshyp 39791  df-lfl 39872  df-lkr 39900  df-ldual 39938  df-oposet 39990  df-ol 39992  df-oml 39993  df-covers 40080  df-ats 40081  df-atl 40112  df-cvlat 40136  df-hlat 40165  df-llines 40312  df-lplanes 40313  df-lvols 40314  df-lines 40315  df-psubsp 40317  df-pmap 40318  df-padd 40610  df-lhyp 40802  df-laut 40803  df-ldil 40918  df-ltrn 40919  df-trl 40973  df-tgrp 41557  df-tendo 41569  df-edring 41571  df-dveca 41817  df-disoa 41843  df-dvech 41893  df-dib 41953  df-dic 41987  df-dih 42043  df-doch 42162  df-djh 42209  df-hvmap 42571

This theorem is used by: (None)