Theorem hvmaplkr 41725

Description: Kernel of the vector to functional map. TODO: make this become lcfrlem11 41510. (Contributed by NM, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmaplkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmaplkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmaplkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmaplkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmaplkr.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hvmaplkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hvmaplkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Proof of Theorem hvmaplkr

Dummy variables 𝑡 𝑗 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmaplkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmaplkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmaplkr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmaplkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		hvmaplkr.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
10		hvmaplkr.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hvmaplkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hvmapfval 41716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))))
13	12	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋))
14	13	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)))
15		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
16		hvmaplkr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
18		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
19		eqid 2740	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
20		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))
21		hvmaplkr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	1, 3, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 7, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 11, 21	lcfrlem11 41510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
23	14, 22	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  ocHcoch 41304  HVMapchvm 41713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352  df-hvmap 41714

This theorem is referenced by:  mapdhvmap  41726