Theorem hvmaplkr 42968

Description: Kernel of the vector to functional map. TODO: make this become lcfrlem11 42753. (Contributed by NM, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmaplkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmaplkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmaplkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmaplkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmaplkr.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hvmaplkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hvmaplkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Proof of Theorem hvmaplkr

Dummy variables 𝑡 𝑗 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmaplkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmaplkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmaplkr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmaplkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		hvmaplkr.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
10		hvmaplkr.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hvmaplkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hvmapfval 42959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))))
13	12	fveq1d 6898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋))
14	13	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)))
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
16		hvmaplkr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))
21		hvmaplkr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	1, 3, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 7, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 11, 21	lcfrlem11 42753	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
23	14, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090  {crab 3416   ∖ cdif 4048  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  ℩crio 7386  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  0_gc0g 17625  LFnlclfn 40257  LKerclk 40285  LDualcld 40323  HLchlt 40550  LHypclh 41184  DVecHcdvh 42278  ocHcoch 42547  HVMapchvm 42956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-riotaBAD 40153

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-undef 8304  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-0g 17627  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-lsm 19865  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-drng 20997  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-lvec 21393  df-lsatoms 40176  df-lshyp 40177  df-lfl 40258  df-lkr 40286  df-oposet 40376  df-ol 40378  df-oml 40379  df-covers 40466  df-ats 40467  df-atl 40498  df-cvlat 40522  df-hlat 40551  df-llines 40698  df-lplanes 40699  df-lvols 40700  df-lines 40701  df-psubsp 40703  df-pmap 40704  df-padd 40996  df-lhyp 41188  df-laut 41189  df-ldil 41304  df-ltrn 41305  df-trl 41359  df-tgrp 41943  df-tendo 41955  df-edring 41957  df-dveca 42203  df-disoa 42229  df-dvech 42279  df-dib 42339  df-dic 42373  df-dih 42429  df-doch 42548  df-djh 42595  df-hvmap 42957

This theorem is used by:  mapdhvmap  42969