Theorem hvmaplkr 41750

Description: Kernel of the vector to functional map. TODO: make this become lcfrlem11 41535. (Contributed by NM, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmaplkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmaplkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmaplkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmaplkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmaplkr.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hvmaplkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hvmaplkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Proof of Theorem hvmaplkr

Dummy variables 𝑡 𝑗 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmaplkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmaplkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmaplkr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmaplkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		hvmaplkr.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
10		hvmaplkr.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hvmaplkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hvmapfval 41741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))))
13	12	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋))
14	13	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)))
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
16		hvmaplkr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
18		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
19		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
20		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))
21		hvmaplkr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	1, 3, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 7, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 11, 21	lcfrlem11 41535	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
23	14, 22	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  {crab 3432   ∖ cdif 3959  {csn 4630   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  ℩crio 7386  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17485  LFnlclfn 39038  LKerclk 39066  LDualcld 39104  HLchlt 39331  LHypclh 39966  DVecHcdvh 41060  ocHcoch 41329  HVMapchvm 41738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17487  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lsatoms 38957  df-lshyp 38958  df-lfl 39039  df-lkr 39067  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tgrp 40725  df-tendo 40737  df-edring 40739  df-dveca 40985  df-disoa 41011  df-dvech 41061  df-dib 41121  df-dic 41155  df-dih 41211  df-doch 41330  df-djh 41377  df-hvmap 41739

This theorem is referenced by:  mapdhvmap  41751