Theorem hvmaplkr 42562

Description: Kernel of the vector to functional map. TODO: make this become lcfrlem11 42347. (Contributed by NM, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmaplkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmaplkr.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmaplkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmaplkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
hvmaplkr.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmaplkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hvmaplkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hvmaplkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Proof of Theorem hvmaplkr

Dummy variables 𝑡 𝑗 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmaplkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hvmaplkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmaplkr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmaplkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		hvmaplkr.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
10		hvmaplkr.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hvmaplkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hvmapfval 42553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))))
13	12	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋))
14	13	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)))
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
16		hvmaplkr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥))))) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))
21		hvmaplkr.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	1, 3, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 7, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 11, 21	lcfrlem11 42347	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑗 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑡 ∈ (𝑂‘{𝑥})𝑣 = (𝑡(+g‘𝑈)(𝑗( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)))))‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))
23	14, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑀‘𝑋)) = (𝑂‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∖ cdif 3902  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487  LFnlclfn 39851  LKerclk 39879  LDualcld 39917  HLchlt 40144  LHypclh 40778  DVecHcdvh 41872  ocHcoch 42141  HVMapchvm 42550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39747

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39770  df-lshyp 39771  df-lfl 39852  df-lkr 39880  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292  df-lplanes 40293  df-lvols 40294  df-lines 40295  df-psubsp 40297  df-pmap 40298  df-padd 40590  df-lhyp 40782  df-laut 40783  df-ldil 40898  df-ltrn 40899  df-trl 40953  df-tgrp 41537  df-tendo 41549  df-edring 41551  df-dveca 41797  df-disoa 41823  df-dvech 41873  df-dib 41933  df-dic 41967  df-dih 42023  df-doch 42142  df-djh 42189  df-hvmap 42551

This theorem is referenced by:  mapdhvmap  42563