Theorem lcfl3 40668

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl3.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl3.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfl3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl3.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl3.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfl3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl3	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl3.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcfl3.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lcfl3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
8		lcfl3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lcfl3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcfl2 40667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
11		lcfl3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
12	1, 2, 3, 4, 11, 5, 6, 8, 9	dochkrsat2 40630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴))
13	12	orbi1d 915	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
14	10, 13	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ 𝐴 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  LSAtomsclsa 38147  LFnlclfn 38230  LKerclk 38258  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  ocHcoch 40521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569

This theorem is referenced by:  lcfl4N  40669  lcfl8  40676