Theorem mapdsord 41673

Description: Strong ordering property of themap defined by df-mapd 41643. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdcnvcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcnvcl.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcnvcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdsord.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdsord	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊊ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊊ 𝑌))

Proof of Theorem mapdsord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdcnvcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdcnvcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdcnvcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdcnvcl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdcnvcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7		mapdsord.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mapdord 41656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mapd11 41657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
10	9	necon3bid 2970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
11	8, 10	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑌)) ↔ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12		df-pss 3920	. 2 ⊢ ((𝑀‘𝑋) ⊊ (𝑀‘𝑌) ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑋) ≠ (𝑀‘𝑌)))
13		df-pss 3920	. 2 ⊢ (𝑋 ⊊ 𝑌 ↔ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
14	11, 12, 13	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊊ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊊ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 3901  ‘cfv 6477  LSubSpclss 20857  HLchlt 39368  LHypclh 40002  DVecHcdvh 41096  mapdcmpd 41642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-0g 17337  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-cntz 19222  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-lvec 21030  df-lsatoms 38994  df-lshyp 38995  df-lfl 39076  df-lkr 39104  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39516  df-lplanes 39517  df-lvols 39518  df-lines 39519  df-psubsp 39521  df-pmap 39522  df-padd 39814  df-lhyp 40006  df-laut 40007  df-ldil 40122  df-ltrn 40123  df-trl 40177  df-tgrp 40761  df-tendo 40773  df-edring 40775  df-dveca 41021  df-disoa 41047  df-dvech 41097  df-dib 41157  df-dic 41191  df-dih 41247  df-doch 41366  df-djh 41413  df-mapd 41643

This theorem is referenced by:  mapdcv  41678