Theorem mapdcl2 39666

Description: The mapping of a subspace of vector space H is a subspace in the dual space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdlss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlss.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdlss.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐶)
mapdlss.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdcl2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem mapdcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdlss.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdlss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdlss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdlss.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdlss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mapdcl 39663	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ ran 𝑀)
8		mapdlss.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdlss.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐶)
10	1, 2, 8, 9, 5	mapdrn2 39661	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = 𝑇)
11	7, 10	eleqtrd 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ran crn 5591  ‘cfv 6432  LSubSpclss 20191  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  LCDualclcd 39596  mapdcmpd 39634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-lsatoms 36986  df-lshyp 36987  df-lcv 37029  df-lfl 37068  df-lkr 37096  df-ldual 37134  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tgrp 38753  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-dveca 39013  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239  df-doch 39358  df-djh 39405  df-lcdual 39597  df-mapd 39635

This theorem is referenced by:  mapdcv  39670  mapdin  39672  mapdlsm  39674  mapdat  39677  mapdpglem2a  39684  mapdpglem3  39685  mapdpglem6  39688  mapdpglem8  39689  mapdpglem12  39693  mapdpglem13  39694  mapdpglem17N  39698  mapdpglem18  39699  mapdpglem19  39700  mapdpglem21  39702  mapdpglem23  39704  hdmaprnlem8N  39866  hdmaprnlem3eN  39868