Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapd11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapd11 41021
Description: The map defined by df-mapd 41007 is one-to-one. Property (c) of [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdord.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdord.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdord.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdord.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdord.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdord.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdord.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapd11 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem mapd11
StepHypRef Expression
1 mapdord.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdord.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdord.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4 mapdord.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdord.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 mapdord.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
7 mapdord.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdord 41020 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 βŠ† π‘Œ))
91, 2, 3, 4, 5, 7, 6mapdord 41020 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹) ↔ π‘Œ βŠ† 𝑋))
108, 9anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹)) ↔ (𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋)))
11 eqss 3992 . 2 ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹)))
12 eqss 3992 . 2 (𝑋 = π‘Œ ↔ (𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋))
1310, 11, 123bitr4g 314 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  LSubSpclss 20776  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  mapdcmpd 41006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777  df-mapd 41007
This theorem is referenced by:  mapd1o  41030  mapdsord  41037  mapdn0  41051  mapdncol  41052  mapdpglem29  41082  hdmapeq0  41226  hdmaprnlem1N  41231  hdmaprnlem3N  41232  hdmaprnlem9N  41239  hdmap14lem9  41258
  Copyright terms: Public domain W3C validator