Theorem cygznlem2 21593

Description: Lemma for cygzn 21595. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
cygzn.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
cygzn.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cygznlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2		fvexd 6871	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ V)
3		ovexd 7420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ V)
4		fveq2 6856	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑀))
5		oveq1 7392	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
6		cygzn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cygzn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
8		cygzn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		cygzn.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10		cygzn.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
11		cygzn.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
12		cygzn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
13		cygzn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1	cygznlem2a 21592	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
15	14	ffund 6685	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	fliftval 7289	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {crab 3408  Vcvv 3448  ifcif 4474  ⟨cop 4582   ↦ cmpt 5175  ran crn 5641  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  0cc0 11063  ℤcz 12558  ♯chash 14333  Basecbs 17221  ._gcmg 19085  CycGrpccyg 19893  ℤRHomczrh 21524  ℤ/nℤczn 21527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142  ax-mulf 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-ec 8668  df-qs 8672  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-0g 17446  df-imas 17514  df-qus 17515  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19230  df-od 19544  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-cyg 19894  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-rhm 20493  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-lidl 21251  df-rsp 21252  df-2idl 21293  df-cnfld 21398  df-zring 21472  df-zrh 21528  df-zn 21531

This theorem is referenced by:  cygznlem3  21594