Theorem cygznlem2 20757

Description: Lemma for cygzn 20759. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
cygzn.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
cygzn.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cygznlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2		fvexd 6783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ V)
3		ovexd 7303	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ V)
4		fveq2 6768	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑀))
5		oveq1 7275	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
6		cygzn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cygzn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
8		cygzn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		cygzn.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10		cygzn.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
11		cygzn.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
12		cygzn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
13		cygzn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1	cygznlem2a 20756	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
15	14	ffund 6600	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	fliftval 7180	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3069  Vcvv 3430  ifcif 4464  ⟨cop 4572   ↦ cmpt 5161  ran crn 5589  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  0cc0 10855  ℤcz 12302  ♯chash 14025  Basecbs 16893  ._gcmg 18681  CycGrpccyg 19458  ℤRHomczrh 20682  ℤ/nℤczn 20685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-omul 8286  df-er 8472  df-ec 8474  df-qs 8478  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-acn 9684  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-imas 17200  df-qus 17201  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-nsg 18734  df-eqg 18735  df-ghm 18813  df-od 19117  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-cyg 19459  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-rnghom 19940  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-lsp 20215  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-lidl 20417  df-rsp 20418  df-2idl 20484  df-cnfld 20579  df-zring 20652  df-zrh 20686  df-zn 20689

This theorem is referenced by:  cygznlem3  20758