Theorem cygznlem2 21538

Description: Lemma for cygzn 21540. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
cygzn.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
cygzn.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cygznlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2		fvexd 6857	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ V)
3		ovexd 7403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ V)
4		fveq2 6842	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑀))
5		oveq1 7375	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
6		cygzn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cygzn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
8		cygzn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		cygzn.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10		cygzn.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
11		cygzn.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
12		cygzn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
13		cygzn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1	cygznlem2a 21537	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
15	14	ffund 6674	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	fliftval 7272	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442  ifcif 4481  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038  ℤcz 12500  ♯chash 14265  Basecbs 17148  ._gcmg 19012  CycGrpccyg 19821  ℤRHomczrh 21469  ℤ/nℤczn 21472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-nsg 19069  df-eqg 19070  df-ghm 19157  df-od 19472  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-cyg 19822  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-rhm 20423  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-lidl 21178  df-rsp 21179  df-2idl 21220  df-cnfld 21325  df-zring 21417  df-zrh 21473  df-zn 21476

This theorem is referenced by:  cygznlem3  21539