MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem2 20874
Description: Lemma for cygzn 20876. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cygzn.n ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
cygzn.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
cygzn.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
cygzn.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
cygzn.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cygzn.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
cygzn.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
cygzn.f ๐น = ran (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ โŸจ(๐ฟโ€˜๐‘š), (๐‘š ยท ๐‘‹)โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
cygznlem2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘€)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐ต   ๐‘š,๐บ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘€   ยท ,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘Œ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘š,๐ฟ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘š   ๐‘›,๐น,๐‘ฅ   ๐‘š,๐‘‹,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘›)   ๐น(๐‘š)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘(๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem cygznlem2
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . 2 ๐น = ran (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ โŸจ(๐ฟโ€˜๐‘š), (๐‘š ยท ๐‘‹)โŸฉ)
2 fvexd 6834 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘š) โˆˆ V)
3 ovexd 7364 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ V)
4 fveq2 6819 . 2 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐ฟโ€˜๐‘š) = (๐ฟโ€˜๐‘€))
5 oveq1 7336 . 2 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
6 cygzn.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 cygzn.n . . . 4 ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
8 cygzn.y . . . 4 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
9 cygzn.m . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
10 cygzn.l . . . 4 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
11 cygzn.e . . . 4 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
12 cygzn.g . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
13 cygzn.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1cygznlem2a 20873 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘Œ)โŸถ๐ต)
1514ffund 6649 . 2 (๐œ‘ โ†’ Fun ๐น)
161, 2, 3, 4, 5, 15fliftval 7237 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐นโ€˜(๐ฟโ€˜๐‘€)) = (๐‘€ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {crab 3403  Vcvv 3441  ifcif 4472  โŸจcop 4578   โ†ฆ cmpt 5172  ran crn 5615  โ€˜cfv 6473  (class class class)co 7329  Fincfn 8796  0cc0 10964  โ„คcz 12412  โ™ฏchash 14137  Basecbs 17001  .gcmg 18788  CycGrpccyg 19564  โ„คRHomczrh 20799  โ„ค/nโ„คczn 20802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-ec 8563  df-qs 8567  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-acn 9791  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-dvds 16055  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-0g 17241  df-imas 17308  df-qus 17309  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-nsg 18841  df-eqg 18842  df-ghm 18920  df-od 19224  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-cyg 19565  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-rnghom 20046  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-lidl 20534  df-rsp 20535  df-2idl 20601  df-cnfld 20696  df-zring 20769  df-zrh 20803  df-zn 20806
This theorem is referenced by:  cygznlem3  20875
  Copyright terms: Public domain W3C validator