Theorem cygznlem2 21886

Description: Lemma for cygzn 21888. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
cygzn.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
cygzn.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)

Assertion

Ref	Expression
cygznlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐸(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑀(𝑥, 𝑛)   𝑁(𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿‘𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2		fvexd 6908	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ V)
3		ovexd 7462	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ V)
4		fveq2 6893	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝑀))
5		oveq1 7434	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
6		cygzn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cygzn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
8		cygzn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		cygzn.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10		cygzn.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
11		cygzn.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
12		cygzn.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
13		cygzn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1	cygznlem2a 21885	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
15	14	ffund 6722	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	fliftval 7331	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐿‘𝑀)) = (𝑀 · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  Vcvv 3453  ifcif 4484  ⟨cop 4837   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  0cc0 11210  ℤcz 12703  ♯chash 14484  Basecbs 17399  ._gcmg 19289  CycGrpccyg 20103  ℤRHomczrh 21817  ℤ/nℤczn 21820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-0g 17624  df-imas 17692  df-qus 17693  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-nsg 19346  df-eqg 19347  df-ghm 19440  df-od 19754  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-cyg 20104  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-lidl 21498  df-rsp 21499  df-2idl 21555  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-zn 21824

This theorem is used by:  cygznlem3  21887