Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatexv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatexv2 39852
Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihatexv2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihatexv2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihatexv2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dihatexv2.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dihatexv2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dihatexv2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihatexv2.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
dihatexv2 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem dihatexv2
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihatexv2.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2atbase 37801 . . 3 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
43anim2i 618 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
5 dihatexv2.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
65adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 eldifi 4090 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
8 dihatexv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 dihatexv2.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dihatexv2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
11 dihatexv2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
12 dihatexv2.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12dihlsprn 39844 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ ran 𝐼)
145, 7, 13syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ ran 𝐼)
151, 8, 12dihcnvcl 39784 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
166, 14, 15syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 eleq1a 2829 . . . . 5 ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜πΎ) β†’ (𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
1918rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
2019imdistani 570 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
21 dihatexv2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
225adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
23 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
241, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23dihatexv 39851 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
2522adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2622, 7, 13syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ ran 𝐼)
278, 12dihcnvid2 39786 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))) = (π‘β€˜{π‘₯}))
2825, 26, 27syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))) = (π‘β€˜{π‘₯}))
2928eqeq2d 2744 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))) ↔ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
30 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3125, 26, 15syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
321, 8, 12dih11 39778 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))) ↔ 𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
3325, 30, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))) ↔ 𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
3429, 33bitr3d 281 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ↔ 𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
3534rexbidva 3170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
3624, 35bitrd 279 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
374, 20, 36pm5.21nd 801 1 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  0gc0g 17329  LSpanclspn 20476  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  djhcvat42  39928
  Copyright terms: Public domain W3C validator