Theorem dihatexv2 41318

Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihatexv2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihatexv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihatexv2	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihatexv2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 39268	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
5		dihatexv2.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eldifi 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		dihatexv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihatexv2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihatexv2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		dihatexv2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		dihatexv2.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 9, 10, 11, 12	dihlsprn 41310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
14	5, 7, 13	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
15	1, 8, 12	dihcnvcl 41250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
16	6, 14, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
17		eleq1a 2823	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾) → (𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
19	18	rexlimdva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
20	19	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) → (𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
21		dihatexv2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	1, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23	dihatexv 41317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
25	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	22, 7, 13	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
27	8, 12	dihcnvid2 41252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
29	28	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
30		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	25, 26, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 8, 12	dih11 41244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
33	25, 30, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
34	29, 33	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
35	34	rexbidva 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
36	24, 35	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
37	4, 20, 36	pm5.21nd 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3900  {csn 4577  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  LSpanclspn 20874  Atomscatm 39242  HLchlt 39329  LHypclh 39963  DVecHcdvh 41057  DIsoHcdih 41207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38932

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38955  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138  df-tendo 40734  df-edring 40736  df-disoa 41008  df-dvech 41058  df-dib 41118  df-dic 41152  df-dih 41208

This theorem is referenced by:  djhcvat42  41394