Theorem dihatexv2 42171

Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihatexv2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihatexv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihatexv2	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihatexv2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 40121	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	anim2i 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
5		dihatexv2.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eldifi 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		dihatexv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihatexv2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihatexv2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		dihatexv2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		dihatexv2.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 9, 10, 11, 12	dihlsprn 42163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
14	5, 7, 13	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
15	1, 8, 12	dihcnvcl 42103	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
16	6, 14, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
17		eleq1a 2860	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾) → (𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
19	18	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
20	19	imdistani 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) → (𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
21		dihatexv2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	1, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23	dihatexv 42170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
25	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	22, 7, 13	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
27	8, 12	dihcnvid2 42105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
29	28	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
30		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	25, 26, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 8, 12	dih11 42097	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
33	25, 30, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
34	29, 33	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
35	34	rexbidva 3189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
36	24, 35	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
37	4, 20, 36	pm5.21nd 814	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ^◡ccnv 5662  ran crn 5664  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  LSpanclspn 21142  Atomscatm 40095  HLchlt 40182  LHypclh 40816  DVecHcdvh 41910  DIsoHcdih 42060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-0g 17516  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991  df-tendo 41587  df-edring 41589  df-disoa 41861  df-dvech 41911  df-dib 41971  df-dic 42005  df-dih 42061

This theorem is used by:  djhcvat42  42247