Theorem dihatexv2 42533

Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihatexv2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihatexv2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihatexv2	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihatexv2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atbase 40483	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4	3	anim2i 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
5		dihatexv2.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eldifi 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8		dihatexv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihatexv2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihatexv2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		dihatexv2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		dihatexv2.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 9, 10, 11, 12	dihlsprn 42525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
14	5, 7, 13	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
15	1, 8, 12	dihcnvcl 42465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
16	6, 14, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
17		eleq1a 2855	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾) → (𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
19	18	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
20	19	imdistani 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) → (𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
21		dihatexv2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
22	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	1, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23	dihatexv 42532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
25	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	22, 7, 13	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
27	8, 12	dihcnvid2 42467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
29	28	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
30		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	25, 26, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 8, 12	dih11 42459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
33	25, 30, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
34	29, 33	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
35	34	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
36	24, 35	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
37	4, 20, 36	pm5.21nd 814	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044  {csn 4584  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  0_gc0g 17619  LSpanclspn 21255  Atomscatm 40457  HLchlt 40544  LHypclh 41178  DVecHcdvh 42272  DIsoHcdih 42422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-riotaBAD 40147

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-0g 17621  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-drng 20991  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lvec 21387  df-lsatoms 40170  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-llines 40692  df-lplanes 40693  df-lvols 40694  df-lines 40695  df-psubsp 40697  df-pmap 40698  df-padd 40990  df-lhyp 41182  df-laut 41183  df-ldil 41298  df-ltrn 41299  df-trl 41353  df-tendo 41949  df-edring 41951  df-disoa 42223  df-dvech 42273  df-dib 42333  df-dic 42367  df-dih 42423

This theorem is used by:  djhcvat42  42609