Theorem mapd1dim2lem1N 42280

Description: Value of the map defined by df-mapd 42261 at an atom. (Contributed by NM, 10-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1dim2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapd1dim2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1dim2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1dim2.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1dim2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1dim2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapd1dim2.t	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapd1dim2lem1N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑄 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑄,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapd1dim2lem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd1dim2.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapd1dim2.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4		mapd1dim2.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapd1dim2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapd1dim2.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapd1dim2.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapd1dim2.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapd1dim2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10	1, 2, 8	dvhlmod 41746	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		mapd1dim2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	3, 9, 10, 11	lsatlssel 39633	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mapdval4N 42268	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑄 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {crab 3417  {csn 4585  ‘cfv 6525  LSubSpclss 21021  LSAtomsclsa 39610  LFnlclfn 39693  LKerclk 39721  HLchlt 39986  LHypclh 40620  DVecHcdvh 41714  ocHcoch 41983  mapdcmpd 42260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-0g 17484  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lvec 21193  df-lsatoms 39612  df-lshyp 39613  df-lfl 39694  df-lkr 39722  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795  df-tgrp 41379  df-tendo 41391  df-edring 41393  df-dveca 41639  df-disoa 41665  df-dvech 41715  df-dib 41775  df-dic 41809  df-dih 41865  df-doch 41984  df-djh 42031  df-mapd 42261

This theorem is referenced by: (None)