Theorem mplidom 34230

Description: The multivariate polynomials over an integral domain form an integral domain. See ply1idom 26473. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplidom.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplidom.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
mplidom	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ IDomn)

Proof of Theorem mplidom

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑛 𝑥 𝑒 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplidom.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplidom.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplidom.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → ((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑒) = ((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓))
5	4	fveq1d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑒)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩}) = (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩}))
6	5	mpteq2dv 5202	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝑓 → (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑒)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩})) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩})))
7	6	cbvmptv 5212	. . 3 ⊢ (𝑒 ∈ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑒)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩}))) = (𝑓 ∈ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩})))
8		fveq1 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚‘∅) = (𝑛‘∅))
9	8	opeq2d 4850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩ = ⟨𝑥, (𝑛‘∅)⟩)
10	9	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩} = {⟨𝑥, (𝑛‘∅)⟩})
11	10	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩}) = (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑛‘∅)⟩}))
12	11	cbvmptv 5212	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑛‘∅)⟩}))
13	12	mpteq2i 5204	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩}))) = (𝑓 ∈ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑛‘∅)⟩})))
14	7, 13	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝑒 ∈ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑒)‘{⟨𝑥, (𝑚‘∅)⟩}))) = (𝑓 ∈ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝑗 ∪ {𝑥}) selectVars 𝑅)‘{𝑥})‘𝑓)‘{⟨𝑥, (𝑛‘∅)⟩})))
15		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)) = (Base‘((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅))
16		eqid 2763	. 2 ⊢ ((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅) = ((𝑗 ∪ {𝑥}) mPoly 𝑅)
17		eqid 2763	. 2 ⊢ (((𝑗 ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) mPoly 𝑅) = (((𝑗 ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) mPoly 𝑅)
18		eqid 2763	. 2 ⊢ (Poly1‘(((𝑗 ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) mPoly 𝑅)) = (Poly1‘(((𝑗 ∪ {𝑥}) ∖ {𝑥}) mPoly 𝑅))
19	1, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 18	mplidomlem 34229	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ IDomn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  IDomncidom 20975   mPoly cmpl 22244   selectVars cslv 22455  Poly₁cpl1 22525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-srg 20443  df-ring 20491  df-cring 20492  df-rhm 20732  df-rim 20733  df-ric 20773  df-nzr 20793  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-rlreg 20976  df-domn 20977  df-idom 20978  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-cnfld 21709  df-assa 22191  df-asp 22192  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-evls 22413  df-evl 22414  df-selv 22456  df-psr1 22528  df-vr1 22529  df-ply1 22530  df-coe1 22531  df-mdeg 26403  df-deg1 26404

This theorem is used by: (None)