Theorem smadiadetlem3lem1 22094

Description: Lemma 1 for smadiadetlem3 22096. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3lem1	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑛,𝑊,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   1 (𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑝)   𝑊(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   0 (𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem smadiadetlem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		marep01ma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		marep01ma.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
4		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		marep01ma.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		smadiadetlem.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		smadiadetlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		madetminlem.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
9		madetminlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		madetminlem.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		smadiadetlem.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12		smadiadetlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smadiadetlem3lem0 22093	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	fmpttd 7098	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3940  {csn 4621   ↦ cmpt 5223   ∘ ccom 5672  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  Basecbs 17125  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17366   Σ_g cgsu 17367  SymGrpcsymg 19197  pmSgncpsgn 19320  mulGrpcmgp 19945  1_rcur 19962  CRingccrg 20014  ℤRHomczrh 20979   Mat cmat 21833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168  ax-addf 11170  ax-mulf 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-supp 8128  df-tpos 8192  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-2o 8448  df-er 8685  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9344  df-sup 9418  df-oi 9486  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12454  df-xnn0 12526  df-z 12540  df-dec 12659  df-uz 12804  df-rp 12956  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-seq 13948  df-exp 14009  df-hash 14272  df-word 14446  df-lsw 14494  df-concat 14502  df-s1 14527  df-substr 14572  df-pfx 14602  df-splice 14681  df-reverse 14690  df-s2 14780  df-struct 17061  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17368  df-gsum 17369  df-prds 17374  df-pws 17376  df-mre 17511  df-mrc 17512  df-acs 17514  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-mhm 18646  df-submnd 18647  df-efmnd 18724  df-grp 18796  df-minusg 18797  df-mulg 18922  df-subg 18974  df-ghm 19055  df-gim 19098  df-cntz 19146  df-oppg 19173  df-symg 19198  df-pmtr 19273  df-psgn 19322  df-cmn 19613  df-mgp 19946  df-ur 19963  df-ring 20015  df-cring 20016  df-rnghom 20200  df-subrg 20307  df-sra 20731  df-rgmod 20732  df-cnfld 20876  df-zring 20949  df-zrh 20983  df-dsmm 21217  df-frlm 21232  df-mat 21834

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3  22096