Theorem smadiadetlem3lem1 21417

Description: Lemma 1 for smadiadetlem3 21419. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3lem1	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑛,𝑊,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   1 (𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑝)   𝑊(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)   0 (𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem smadiadetlem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		marep01ma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		marep01ma.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
4		marep01ma.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		marep01ma.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		smadiadetlem.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		smadiadetlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		madetminlem.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
9		madetminlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		madetminlem.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		smadiadetlem.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12		smadiadetlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smadiadetlem3lem0 21416	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
14	13	fmpttd 6889	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))):𝑊⟶(Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3840  {csn 4516   ↦ cmpt 5110   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ∈ cmpo 7172  Basecbs 16586  ._rcmulr 16669  0_gc0g 16816   Σ_g cgsu 16817  SymGrpcsymg 18613  pmSgncpsgn 18735  mulGrpcmgp 19358  1_rcur 19370  CRingccrg 19417  ℤRHomczrh 20320   Mat cmat 21158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-splice 14201  df-reverse 14210  df-s2 14299  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-efmnd 18150  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-gim 18517  df-cntz 18565  df-oppg 18592  df-symg 18614  df-pmtr 18688  df-psgn 18737  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-mat 21159

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3  21419