Theorem algextdeg 34339

Description: The degree of an algebraic field extension (noted [𝐿:𝐾]) is the degree of the minimal polynomial 𝑀(𝐴), whereas 𝐿 is the field generated by 𝐾 and the algebraic element 𝐴. Part of Proposition 1.4 of [Lang], p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeg	⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Proof of Theorem algextdeg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3		algextdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
4		algextdeg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
5		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		algextdeg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
9		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
10		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
11		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞) = ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝))
12	11	fveq1d 6879	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
13	12	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
14		eceq1 8741	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})) = [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
15	14	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}) = (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
18		imaeq2 6050	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
19	18	unieqd 4880	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
20	19	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟)) = (𝑝 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (rem1p‘𝐾) = (rem1p‘𝐾)
22		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)) = (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
23	22	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23	algextdeglem6 34336	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20	algextdeglem4 34334	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (𝐿[:]𝐾))
26		eqid 2761	. . 3 ⊢ (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴)))) = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26	algextdeglem8 34338	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {csn 4584  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  [cec 8699  -∞cmnf 11322  [,)cico 13459  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  0_gc0g 17590   “_s cimas 17656   /_s cqus 17657   ~_QG cqg 19312  Fieldcfield 20961  SubDRingcsdrg 21023  Poly₁cpl1 22475   evalSub₁ ces1 22611  deg₁cdg1 26352  rem_1pcr1p 26427   fldGen cfldgen 33854  dimcldim 34213  [:]cextdg 34254   IntgRing cirng 34297   minPoly cminply 34313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-reg 9570  ax-inf2 9626  ax-ac2 10522  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-rpss 7728  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-r1 9752  df-rank 9753  df-scott 9910  df-dju 9963  df-card 10001  df-acn 10004  df-ac 10176  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-ico 13463  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ocomp 17429  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-imas 17660  df-qus 17661  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-mri 17738  df-acs 17739  df-proset 18448  df-drs 18449  df-poset 18467  df-ipo 18682  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-nsg 19314  df-eqg 19315  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-srg 20393  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-irred 20569  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-nzr 20743  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-rlreg 20926  df-domn 20927  df-idom 20928  df-drng 20962  df-field 20963  df-sdrg 21024  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lmhm 21277  df-lmim 21278  df-lmic 21279  df-lbs 21330  df-lvec 21358  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-2idl 21523  df-lpidl 21626  df-lpir 21627  df-pid 21641  df-cnfld 21659  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-uvc 22069  df-lindf 22092  df-linds 22093  df-assa 22141  df-asp 22142  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-evls 22363  df-evl 22364  df-psr1 22478  df-vr1 22479  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-evls1 22613  df-evl1 22614  df-mdeg 26353  df-deg1 26354  df-mon1 26429  df-uc1p 26430  df-q1p 26431  df-r1p 26432  df-ig1p 26433  df-fldgen 33855  df-mxidl 33967  df-dim 34214  df-fldext 34255  df-extdg 34256  df-irng 34298  df-minply 34314

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34340  constrcon  34388