Theorem algextdeg 33759

Description: The degree of an algebraic field extension (noted [𝐿:𝐾]) is the degree of the minimal polynomial 𝑀(𝐴), whereas 𝐿 is the field generated by 𝐾 and the algebraic element 𝐴. Part of Proposition 1.4 of [Lang], p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeg	⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Proof of Theorem algextdeg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3		algextdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
4		algextdeg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
5		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		algextdeg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
9		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
11		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞) = ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝))
12	11	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
13	12	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
14		eceq1 8667	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})) = [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
15	14	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
16		eqid 2733	. . 3 ⊢ (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}) = (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
18		imaeq2 6009	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
19	18	unieqd 4871	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
20	19	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟)) = (𝑝 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
21		eqid 2733	. . 3 ⊢ (rem1p‘𝐾) = (rem1p‘𝐾)
22		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)) = (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
23	22	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23	algextdeglem6 33756	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20	algextdeglem4 33754	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (𝐿[:]𝐾))
26		eqid 2733	. . 3 ⊢ (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴)))) = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26	algextdeglem8 33758	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896  {csn 4575  ∪ cuni 4858   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  [cec 8626  -∞cmnf 11151  [,)cico 13249  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  0_gc0g 17345   “_s cimas 17410   /_s cqus 17411   ~_QG cqg 19037  Fieldcfield 20647  SubDRingcsdrg 20703  Poly₁cpl1 22090   evalSub₁ ces1 22229  deg₁cdg1 25987  rem_1pcr1p 26062   fldGen cfldgen 33283  dimcldim 33632  [:]cextdg 33674   IntgRing cirng 33717   minPoly cminply 33733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-rpss 7662  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-r1 9664  df-rank 9665  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ocomp 17184  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-imas 17414  df-qus 17415  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-mri 17492  df-acs 17493  df-proset 18202  df-drs 18203  df-poset 18221  df-ipo 18436  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-nsg 19039  df-eqg 19040  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-irred 20279  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-rhm 20392  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-idom 20613  df-drng 20648  df-field 20649  df-sdrg 20704  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lmhm 20958  df-lmim 20959  df-lmic 20960  df-lbs 21011  df-lvec 21039  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-rsp 21148  df-2idl 21189  df-lpidl 21261  df-lpir 21262  df-pid 21276  df-cnfld 21294  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-uvc 21722  df-lindf 21745  df-linds 21746  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-evls 22010  df-evl 22011  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evls1 22231  df-evl1 22232  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064  df-uc1p 26065  df-q1p 26066  df-r1p 26067  df-ig1p 26068  df-fldgen 33284  df-mxidl 33432  df-dim 33633  df-fldext 33675  df-extdg 33676  df-irng 33718  df-minply 33734

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33760  constrcon  33808