Theorem algextdeg 34243

Description: The degree of an algebraic field extension (noted [𝐿:𝐾]) is the degree of the minimal polynomial 𝑀(𝐴), whereas 𝐿 is the field generated by 𝐾 and the algebraic element 𝐴. Part of Proposition 1.4 of [Lang], p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeg	⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Proof of Theorem algextdeg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3		algextdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
4		algextdeg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
5		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		algextdeg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
9		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
10		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
11		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞) = ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝))
12	11	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
13	12	cbvmptv 5213	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
14		eceq1 8740	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})) = [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
15	14	cbvmptv 5213	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
16		eqid 2762	. . 3 ⊢ (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}) = (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})
17		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
18		imaeq2 6056	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
19	18	unieqd 4883	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
20	19	cbvmptv 5213	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟)) = (𝑝 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
21		eqid 2762	. . 3 ⊢ (rem1p‘𝐾) = (rem1p‘𝐾)
22		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)) = (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
23	22	cbvmptv 5213	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23	algextdeglem6 34240	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20	algextdeglem4 34238	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (𝐿[:]𝐾))
26		eqid 2762	. . 3 ⊢ (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴)))) = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26	algextdeglem8 34242	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900  {csn 4587  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  [cec 8698  -∞cmnf 11269  [,)cico 13404  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  0_gc0g 17530   “_s cimas 17596   /_s cqus 17597   ~_QG cqg 19251  Fieldcfield 20897  SubDRingcsdrg 20958  Poly₁cpl1 22408   evalSub₁ ces1 22544  deg₁cdg1 26286  rem_1pcr1p 26361   fldGen cfldgen 33759  dimcldim 34117  [:]cextdg 34158   IntgRing cirng 34201   minPoly cminply 34217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624  ax-ac2 10469  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-rpss 7728  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9872  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10123  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ocomp 17369  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-imas 17600  df-qus 17601  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-mri 17678  df-acs 17679  df-proset 18388  df-drs 18389  df-poset 18407  df-ipo 18622  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-nsg 19253  df-eqg 19254  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-cntz 19450  df-oppg 19479  df-lsm 19769  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-irred 20506  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-nzr 20679  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-rlreg 20862  df-domn 20863  df-idom 20864  df-drng 20898  df-field 20899  df-sdrg 20959  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lmhm 21212  df-lmim 21213  df-lmic 21214  df-lbs 21265  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-lidl 21401  df-rsp 21402  df-2idl 21458  df-lpidl 21559  df-lpir 21560  df-pid 21574  df-cnfld 21592  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-uvc 22002  df-lindf 22025  df-linds 22026  df-assa 22074  df-asp 22075  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-opsr 22134  df-evls 22296  df-evl 22297  df-psr1 22411  df-vr1 22412  df-ply1 22413  df-coe1 22414  df-evls1 22546  df-evl1 22547  df-mdeg 26287  df-deg1 26288  df-mon1 26363  df-uc1p 26364  df-q1p 26365  df-r1p 26366  df-ig1p 26367  df-fldgen 33760  df-mxidl 33871  df-dim 34118  df-fldext 34159  df-extdg 34160  df-irng 34202  df-minply 34218

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34244  constrcon  34292