Theorem algextdeg 33902

Description: The degree of an algebraic field extension (noted [𝐿:𝐾]) is the degree of the minimal polynomial 𝑀(𝐴), whereas 𝐿 is the field generated by 𝐾 and the algebraic element 𝐴. Part of Proposition 1.4 of [Lang], p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeg	⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Proof of Theorem algextdeg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3		algextdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
4		algextdeg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
5		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		algextdeg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
11		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞) = ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝))
12	11	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
13	12	cbvmptv 5204	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
14		eceq1 8685	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})) = [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
15	14	cbvmptv 5204	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}) = (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
18		imaeq2 6023	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
19	18	unieqd 4878	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
20	19	cbvmptv 5204	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟)) = (𝑝 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
21		eqid 2737	. . 3 ⊢ (rem1p‘𝐾) = (rem1p‘𝐾)
22		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)) = (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
23	22	cbvmptv 5204	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23	algextdeglem6 33899	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20	algextdeglem4 33897	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (𝐿[:]𝐾))
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴)))) = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26	algextdeglem8 33901	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901  {csn 4582  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  [cec 8643  -∞cmnf 11176  [,)cico 13275  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  0_gc0g 17371   “_s cimas 17437   /_s cqus 17438   ~_QG cqg 19064  Fieldcfield 20675  SubDRingcsdrg 20731  Poly₁cpl1 22129   evalSub₁ ces1 22269  deg₁cdg1 26027  rem_1pcr1p 26102   fldGen cfldgen 33403  dimcldim 33775  [:]cextdg 33817   IntgRing cirng 33860   minPoly cminply 33876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-reg 9509  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-rpss 7678  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-r1 9688  df-rank 9689  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ocomp 17210  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-mri 17519  df-acs 17520  df-proset 18229  df-drs 18230  df-poset 18248  df-ipo 18463  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-irred 20307  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-nzr 20458  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-idom 20641  df-drng 20676  df-field 20677  df-sdrg 20732  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lmhm 20986  df-lmim 20987  df-lmic 20988  df-lbs 21039  df-lvec 21067  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-2idl 21217  df-lpidl 21289  df-lpir 21290  df-pid 21304  df-cnfld 21322  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-uvc 21750  df-lindf 21773  df-linds 21774  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-evls 22041  df-evl 22042  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-evls1 22271  df-evl1 22272  df-mdeg 26028  df-deg1 26029  df-mon1 26104  df-uc1p 26105  df-q1p 26106  df-r1p 26107  df-ig1p 26108  df-fldgen 33404  df-mxidl 33552  df-dim 33776  df-fldext 33818  df-extdg 33819  df-irng 33861  df-minply 33877

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33903  constrcon  33951