Theorem algextdeg 33691

Description: The degree of an algebraic field extension (noted [𝐿:𝐾]) is the degree of the minimal polynomial 𝑀(𝐴), whereas 𝐿 is the field generated by 𝐾 and the algebraic element 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
algextdeg	⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Proof of Theorem algextdeg

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
3		algextdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
4		algextdeg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
5		algextdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6		algextdeg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		algextdeg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
11		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞) = ((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝))
12	11	fveq1d 6828	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
13	12	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑝)‘𝐴))
14		eceq1 8671	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})) = [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
15	14	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑦]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = (𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ [𝑥]((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}) = (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)}))) = ((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))
18		imaeq2 6011	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
19	18	unieqd 4874	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟) = ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
20	19	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑟)) = (𝑝 ∈ (Base‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) ↦ ∪ ((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ 𝑝))
21		eqid 2729	. . 3 ⊢ (rem1p‘𝐾) = (rem1p‘𝐾)
22		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)) = (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
23	22	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) = (𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑝(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23	algextdeglem6 33688	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20	algextdeglem4 33686	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((Poly1‘𝐾) /s ((Poly1‘𝐾) ~QG (◡(𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴)) “ {(0g‘𝐿)})))) = (𝐿[:]𝐾))
26		eqid 2729	. . 3 ⊢ (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴)))) = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26	algextdeglem8 33690	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘((𝑞 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ↦ (𝑞(rem1p‘𝐾)(𝑀‘𝐴))) “s (Poly1‘𝐾))) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))
28	24, 25, 27	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿[:]𝐾) = (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903  {csn 4579  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  [cec 8630  -∞cmnf 11166  [,)cico 13268  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361   “_s cimas 17426   /_s cqus 17427   ~_QG cqg 19019  Fieldcfield 20633  SubDRingcsdrg 20689  Poly₁cpl1 22077   evalSub₁ ces1 22216  deg₁cdg1 25975  rem_1pcr1p 26050   fldGen cfldgen 33259  dimcldim 33570  [:]cextdg 33612   IntgRing cirng 33654   minPoly cminply 33665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-rpss 7663  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-mri 17508  df-acs 17509  df-proset 18218  df-drs 18219  df-poset 18237  df-ipo 18452  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-eqg 19022  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-lsm 19533  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-irred 20262  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-nzr 20416  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-rlreg 20597  df-domn 20598  df-idom 20599  df-drng 20634  df-field 20635  df-sdrg 20690  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lmhm 20944  df-lmim 20945  df-lmic 20946  df-lbs 20997  df-lvec 21025  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-2idl 21175  df-lpidl 21247  df-lpir 21248  df-pid 21262  df-cnfld 21280  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-uvc 21708  df-lindf 21731  df-linds 21732  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-evls 21997  df-evl 21998  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-coe1 22083  df-evls1 22218  df-evl1 22219  df-mdeg 25976  df-deg1 25977  df-mon1 26052  df-uc1p 26053  df-q1p 26054  df-r1p 26055  df-ig1p 26056  df-fldgen 33260  df-mxidl 33407  df-dim 33571  df-fldext 33613  df-extdg 33614  df-irng 33655  df-minply 33666

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33692  constrcon  33740