Theorem dihprrnlem1N 40821

Description: Lemma for dihprrn 40823, showing one of 4 cases. (Contributed by NM, 30-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dihprrnlem1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihprrnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihprrnlem1.nz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dihprrnlem1.x	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
dihprrnlem1.y	⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihprrnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4627	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihprrnlem1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dihprrn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
8		dihprrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10		dihprrn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		dihprrn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		dihprrn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		dihprrn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihprrn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 40728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
16	11, 12, 15	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17	3, 5, 10	dihcnvcl 40668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
19		dihprrnlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
20	18, 19	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊))
21		dihprrn.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		dihprrnlem1.nz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
23		dihprrnlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
24	7, 5, 8, 13, 23, 14, 10	dihlspsnat 40730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	11, 21, 22, 24	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		dihprrnlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 27	dihjatc 40814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
29	5, 10	dihcnvid2 40670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
30	11, 16, 29	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
31	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 40728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
32	11, 21, 31	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
33	5, 10	dihcnvid2 40670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
34	11, 32, 33	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
35	30, 34	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
36	5, 8, 11	dvhlmod 40507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
37	12	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
38	21	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
39	13, 14, 9	lsmsp2 20954	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
41	28, 35, 40	3eqtrrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
42	2, 41	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
43	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
44	43	hllatd 38760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
45	3, 5, 10	dihcnvcl 40668	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
46	11, 32, 45	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 6	latjcl 18416	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
48	44, 18, 46, 47	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 5, 10	dihcl 40667	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
50	11, 48, 49	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
51	42, 50	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5671  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  0_gc0g 17406  joincjn 18288  Latclat 18408  LSSumclsm 19573  LModclmod 20725  LSpanclspn 20837  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  DVecHcdvh 40475  DIsoHcdih 40625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-disoa 40426  df-dvech 40476  df-dib 40536  df-dic 40570  df-dih 40626

This theorem is referenced by: (None)