Theorem dihprrnlem1N 41881

Description: Lemma for dihprrn 41883, showing one of 4 cases. (Contributed by NM, 30-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dihprrnlem1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihprrnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihprrnlem1.nz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dihprrnlem1.x	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
dihprrnlem1.y	⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihprrnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4571	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihprrnlem1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dihprrn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
8		dihprrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10		dihprrn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		dihprrn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		dihprrn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		dihprrn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihprrn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 41788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
16	11, 12, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17	3, 5, 10	dihcnvcl 41728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 16, 17	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
19		dihprrnlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
20	18, 19	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊))
21		dihprrn.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		dihprrnlem1.nz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
23		dihprrnlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
24	7, 5, 8, 13, 23, 14, 10	dihlspsnat 41790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	11, 21, 22, 24	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		dihprrnlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 27	dihjatc 41874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
29	5, 10	dihcnvid2 41730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
30	11, 16, 29	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
31	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 41788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
32	11, 21, 31	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
33	5, 10	dihcnvid2 41730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
34	11, 32, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
35	30, 34	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
36	5, 8, 11	dvhlmod 41567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
37	12	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
38	21	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
39	13, 14, 9	lsmsp2 21072	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
41	28, 35, 40	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
42	2, 41	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
43	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
44	43	hllatd 39821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
45	3, 5, 10	dihcnvcl 41728	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
46	11, 32, 45	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 6	latjcl 18394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
48	44, 18, 46, 47	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 5, 10	dihcl 41727	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
50	11, 48, 49	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
51	42, 50	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5621  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  lecple 17216  0_gc0g 17391  joincjn 18266  Latclat 18386  LSSumclsm 19598  LModclmod 20844  LSpanclspn 20955  Atomscatm 39720  HLchlt 39807  LHypclh 40441  DVecHcdvh 41535  DIsoHcdih 41685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39410

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21088  df-lsatoms 39433  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-llines 39955  df-lplanes 39956  df-lvols 39957  df-lines 39958  df-psubsp 39960  df-pmap 39961  df-padd 40253  df-lhyp 40445  df-laut 40446  df-ldil 40561  df-ltrn 40562  df-trl 40616  df-tendo 41212  df-edring 41214  df-disoa 41486  df-dvech 41536  df-dib 41596  df-dic 41630  df-dih 41686

This theorem is referenced by: (None)