Theorem dihprrnlem1N 39365

Description: Lemma for dihprrn 39367, showing one of 4 cases. (Contributed by NM, 30-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dihprrnlem1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihprrnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihprrnlem1.nz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dihprrnlem1.x	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
dihprrnlem1.y	⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihprrnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4561	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihprrnlem1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dihprrn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
8		dihprrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10		dihprrn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		dihprrn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		dihprrn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		dihprrn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihprrn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 39272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
16	11, 12, 15	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17	3, 5, 10	dihcnvcl 39212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
19		dihprrnlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
20	18, 19	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊))
21		dihprrn.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		dihprrnlem1.nz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
23		dihprrnlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
24	7, 5, 8, 13, 23, 14, 10	dihlspsnat 39274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	11, 21, 22, 24	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		dihprrnlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 27	dihjatc 39358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
29	5, 10	dihcnvid2 39214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
30	11, 16, 29	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
31	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 39272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
32	11, 21, 31	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
33	5, 10	dihcnvid2 39214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
34	11, 32, 33	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
35	30, 34	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
36	5, 8, 11	dvhlmod 39051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
37	12	snssd 4739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
38	21	snssd 4739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
39	13, 14, 9	lsmsp2 20264	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
41	28, 35, 40	3eqtrrd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
42	2, 41	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
43	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
44	43	hllatd 37305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
45	3, 5, 10	dihcnvcl 39212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
46	11, 32, 45	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 6	latjcl 18072	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
48	44, 18, 46, 47	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 5, 10	dihcl 39211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
50	11, 48, 49	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
51	42, 50	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  0_gc0g 17067  joincjn 17944  Latclat 18064  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  DIsoHcdih 39169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170

This theorem is referenced by: (None)