Theorem dihprrnlem1N 42684

Description: Lemma for dihprrn 42686, showing one of 4 cases. (Contributed by NM, 30-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dihprrnlem1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihprrnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihprrnlem1.nz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dihprrnlem1.x	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
dihprrnlem1.y	⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihprrnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6914	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihprrnlem1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dihprrn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
8		dihprrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10		dihprrn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		dihprrn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		dihprrn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		dihprrn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihprrn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 42591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
16	11, 12, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17	3, 5, 10	dihcnvcl 42531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
19		dihprrnlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
20	18, 19	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊))
21		dihprrn.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		dihprrnlem1.nz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
23		dihprrnlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
24	7, 5, 8, 13, 23, 14, 10	dihlspsnat 42593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	11, 21, 22, 24	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		dihprrnlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)
27	25, 26	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 27	dihjatc 42677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
29	5, 10	dihcnvid2 42533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
30	11, 16, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
31	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 42591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
32	11, 21, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
33	5, 10	dihcnvid2 42533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
34	11, 32, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
35	30, 34	oveq12d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
36	5, 8, 11	dvhlmod 42370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
37	12	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
38	21	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
39	13, 14, 9	lsmsp2 21395	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
41	28, 35, 40	3eqtrrd 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
42	2, 41	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
43	11	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
44	43	hllatd 40624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
45	3, 5, 10	dihcnvcl 42531	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
46	11, 32, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 6	latjcl 18645	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
48	44, 18, 46, 47	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 5, 10	dihcl 42530	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
50	11, 48, 49	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
51	42, 50	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  lecple 17467  0_gc0g 17642  joincjn 18517  Latclat 18637  LSSumclsm 19881  LModclmod 21168  LSpanclspn 21279  Atomscatm 40523  HLchlt 40610  LHypclh 41244  DVecHcdvh 42338  DIsoHcdih 42488

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-riotaBAD 40213

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-undef 8321  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-p1 18630  df-lat 18638  df-clat 18705  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cntz 19564  df-lsm 19883  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lvec 21411  df-lsatoms 40236  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611  df-llines 40758  df-lplanes 40759  df-lvols 40760  df-lines 40761  df-psubsp 40763  df-pmap 40764  df-padd 41056  df-lhyp 41248  df-laut 41249  df-ldil 41364  df-ltrn 41365  df-trl 41419  df-tendo 42015  df-edring 42017  df-disoa 42289  df-dvech 42339  df-dib 42399  df-dic 42433  df-dih 42489

This theorem is used by: (None)