Theorem dihprrnlem1N 41442

Description: Lemma for dihprrn 41444, showing one of 4 cases. (Contributed by NM, 30-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dihprrnlem1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihprrnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihprrnlem1.nz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
dihprrnlem1.x	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
dihprrnlem1.y	⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihprrnlem1N	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4577	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6820	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		dihprrnlem1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		dihprrn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
8		dihprrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10		dihprrn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		dihprrn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		dihprrn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		dihprrn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihprrn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 41349	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
16	11, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17	3, 5, 10	dihcnvcl 41289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
18	11, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
19		dihprrnlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊)
20	18, 19	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≤ 𝑊))
21		dihprrn.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		dihprrnlem1.nz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
23		dihprrnlem1.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
24	7, 5, 8, 13, 23, 14, 10	dihlspsnat 41351	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
25	11, 21, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
26		dihprrnlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊)
27	25, 26	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ≤ 𝑊))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 27	dihjatc 41435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
29	5, 10	dihcnvid2 41291	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
30	11, 16, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
31	5, 8, 13, 14, 10	dihlsprn 41349	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
32	11, 21, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
33	5, 10	dihcnvid2 41291	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
34	11, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
35	30, 34	oveq12d 7359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
36	5, 8, 11	dvhlmod 41128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
37	12	snssd 4759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
38	21	snssd 4759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
39	13, 14, 9	lsmsp2 21014	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
41	28, 35, 40	3eqtrrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
42	2, 41	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
43	11	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
44	43	hllatd 39382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
45	3, 5, 10	dihcnvcl 41289	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
46	11, 32, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 6	latjcl 18337	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
48	44, 18, 46, 47	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 5, 10	dihcl 41288	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
50	11, 48, 49	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
51	42, 50	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∪ cun 3898   ⊆ wss 3900  {csn 4574  {cpr 4576   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  ran crn 5615  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  lecple 17160  0_gc0g 17335  joincjn 18209  Latclat 18329  LSSumclsm 19539  LModclmod 20786  LSpanclspn 20897  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40002  DVecHcdvh 41096  DIsoHcdih 41246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-0g 17337  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-cntz 19222  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-lvec 21030  df-lsatoms 38994  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39516  df-lplanes 39517  df-lvols 39518  df-lines 39519  df-psubsp 39521  df-pmap 39522  df-padd 39814  df-lhyp 40006  df-laut 40007  df-ldil 40122  df-ltrn 40123  df-trl 40177  df-tendo 40773  df-edring 40775  df-disoa 41047  df-dvech 41097  df-dib 41157  df-dic 41191  df-dih 41247

This theorem is referenced by: (None)