Theorem hdmapip0com 41903

Description: Commutation property of Baer's sigma map (Holland's A map). Line 20 of [Holland95] p. 14. Also part of Lemma 1 of [Baer] p. 110 line 7. (Contributed by NM, 9-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapip0com.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapip0com.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip0com.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapip0com.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapip0com.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapip0com.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip0com.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapip0com.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapip0com.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapip0com	⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) = 0 ))

Proof of Theorem hdmapip0com

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapip0com.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapip0com.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapip0com.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hdmapip0com.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		hdmapip0com.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		hdmapip0com.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dochsncom 41368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑌})))
9		hdmapip0com.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
10		hdmapip0com.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		hdmapip0com.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 5, 7, 6	hdmapellkr 41900	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋})))
13	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 5, 6, 7	hdmapellkr 41900	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑌})))
14	8, 12, 13	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑌) = 0 ↔ ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4597  ‘cfv 6519  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229  0_gc0g 17408  HLchlt 39335  LHypclh 39970  DVecHcdvh 41064  ocHcoch 41333  HDMapchdma 41778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-riotaBAD 38938

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-ot 4606  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17410  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-oppg 19284  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-nzr 20428  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016  df-lsatoms 38961  df-lshyp 38962  df-lcv 39004  df-lfl 39043  df-lkr 39071  df-ldual 39109  df-oposet 39161  df-ol 39163  df-oml 39164  df-covers 39251  df-ats 39252  df-atl 39283  df-cvlat 39307  df-hlat 39336  df-llines 39484  df-lplanes 39485  df-lvols 39486  df-lines 39487  df-psubsp 39489  df-pmap 39490  df-padd 39782  df-lhyp 39974  df-laut 39975  df-ldil 40090  df-ltrn 40091  df-trl 40145  df-tgrp 40729  df-tendo 40741  df-edring 40743  df-dveca 40989  df-disoa 41015  df-dvech 41065  df-dib 41125  df-dic 41159  df-dih 41215  df-doch 41334  df-djh 41381  df-lcdual 41573  df-mapd 41611  df-hvmap 41743  df-hdmap1 41779  df-hdmap 41780

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem2  41905  hdmapinvlem4  41907