Theorem lcfrlem13 42362

Description: Lemma for lcfr 42392. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem10.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem13	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,𝑋   𝑥, +   𝑥,𝑅   + ,𝑘,𝑣,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑓   + ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑄(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐹(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐽(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑋(𝑓)   0 (𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		lcflo.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lcf1o 42358	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
18		f1of 6824	. . 3 ⊢ (𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
20		lcfrlem10.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	19, 20	ffvelcdmd 7084	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∖ cdif 3903  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  0_gc0g 17509  LFnlclfn 39864  LKerclk 39892  LDualcld 39930  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  ocHcoch 42154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-0g 17511  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-lsatoms 39783  df-lshyp 39784  df-lfl 39865  df-lkr 39893  df-ldual 39931  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202

This theorem is used by:  lcfrlem16  42365  lcfrlem25  42374  lcfrlem33  42382