Theorem lcfrlem13 42592

Description: Lemma for lcfr 42622. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem10.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem13	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,𝑋   𝑥, +   𝑥,𝑅   + ,𝑘,𝑣,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑓   + ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑄(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐹(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐽(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑋(𝑓)   0 (𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		lcflo.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lcf1o 42588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
18		f1of 6822	. . 3 ⊢ (𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
19	17, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
20		lcfrlem10.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	19, 20	ffvelcdmd 7083	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  ℩crio 7374  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  LFnlclfn 40094  LKerclk 40122  LDualcld 40160  HLchlt 40387  LHypclh 41021  DVecHcdvh 42115  ocHcoch 42384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-riotaBAD 39990

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-0g 17605  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lvec 21371  df-lsatoms 40013  df-lshyp 40014  df-lfl 40095  df-lkr 40123  df-ldual 40161  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-llines 40535  df-lplanes 40536  df-lvols 40537  df-lines 40538  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-padd 40833  df-lhyp 41025  df-laut 41026  df-ldil 41141  df-ltrn 41142  df-trl 41196  df-tgrp 41780  df-tendo 41792  df-edring 41794  df-dveca 42040  df-disoa 42066  df-dvech 42116  df-dib 42176  df-dic 42210  df-dih 42266  df-doch 42385  df-djh 42432

This theorem is used by:  lcfrlem16  42595  lcfrlem25  42604  lcfrlem33  42612