Theorem lcfrlem13 38706

Description: Lemma for lcfr 38736. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem10.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem13	⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,𝑋   𝑥, +   𝑥,𝑅   + ,𝑘,𝑣,𝑤   ⊥ ,𝑘,𝑣   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑓   + ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑋(𝑓)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		lcflo.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	lcf1o 38702	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
18		f1of 6615	. . 3 ⊢ (𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}) → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶(𝐶 ∖ {𝑄}))
20		lcfrlem10.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	19, 20	ffvelrnd 6852	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3933  {csn 4567   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  ℩crio 7113  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  LFnlclfn 36208  LKerclk 36236  LDualcld 36274  HLchlt 36501  LHypclh 37135  DVecHcdvh 38229  ocHcoch 38498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-riotaBAD 36104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-undef 7939  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36127  df-lshyp 36128  df-lfl 36209  df-lkr 36237  df-ldual 36275  df-oposet 36327  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-llines 36649  df-lplanes 36650  df-lvols 36651  df-lines 36652  df-psubsp 36654  df-pmap 36655  df-padd 36947  df-lhyp 37139  df-laut 37140  df-ldil 37255  df-ltrn 37256  df-trl 37310  df-tgrp 37894  df-tendo 37906  df-edring 37908  df-dveca 38154  df-disoa 38180  df-dvech 38230  df-dib 38290  df-dic 38324  df-dih 38380  df-doch 38499  df-djh 38546

This theorem is referenced by:  lcfrlem16  38709  lcfrlem25  38718  lcfrlem33  38726