Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcf1o 38169
Description: Define a function 𝐽 that provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a + = (+g𝑈)
lcf1o.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcf1o.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z 0 = (0g𝑈)
lcf1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q 𝑄 = (0g𝐷)
lcf1o.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcf1o.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcf1o (𝜑𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, +   𝑥,𝑅   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, +   ,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐹   𝑓,𝑉   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcf1o
Dummy variables 𝑙 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcf1o.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcf1o.o . 2 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcf1o.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcf1o.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcf1o.a . 2 + = (+g𝑈)
6 lcf1o.t . 2 · = ( ·𝑠𝑈)
7 lcf1o.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8 lcf1o.r . 2 𝑅 = (Base‘𝑆)
9 lcf1o.z . 2 0 = (0g𝑈)
10 lcf1o.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 lcf1o.l . 2 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcf1o.d . 2 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcf1o.q . 2 𝑄 = (0g𝐷)
14 lcf1o.c . 2 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
15 lcf1o.j . . 3 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16 oveq1 6981 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
1716eqeq2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥))))
1817cbvrexv 3377 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
19 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑥))
2019oveq2d 6990 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
2120eqeq2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2221rexbidv 3235 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2318, 22syl5bb 275 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2423cbvriotav 6946 . . . . . . 7 (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
25 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2625rexbidv 3235 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2726riotabidv 6937 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑢 → (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2824, 27syl5eq 2819 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑢 → (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
2928cbvmptv 5024 . . . . 5 (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢𝑉 ↦ (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
30 sneq 4445 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
3130fveq2d 6500 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ( ‘{𝑥}) = ( ‘{𝑦}))
32 oveq2 6982 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑙 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑦))
3332oveq2d 6990 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))
3433eqeq2d 2781 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
3531, 34rexeqbidv 3335 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
3635riotabidv 6937 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
3736mpteq2dv 5019 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑢𝑉 ↦ (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))) = (𝑢𝑉 ↦ (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
3829, 37syl5eq 2819 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢𝑉 ↦ (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
3938cbvmptv 5024 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢𝑉 ↦ (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
4015, 39eqtri 2795 . 2 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢𝑉 ↦ (𝑙𝑅𝑧 ∈ ( ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
41 lcflo.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
421, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41lcfrlem9 38168 1 (𝜑𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wrex 3082  {crab 3085  cdif 3819  {csn 4435  cmpt 5004  1-1-ontowf1o 6184  cfv 6185  crio 6934  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  +gcplusg 16419  Scalarcsca 16422   ·𝑠 cvsca 16423  0gc0g 16567  LFnlclfn 35675  LKerclk 35703  LDualcld 35741  HLchlt 35968  LHypclh 36602  DVecHcdvh 37696  ocHcoch 37965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-riotaBAD 35571
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-undef 7740  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-0g 16569  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-lsatoms 35594  df-lshyp 35595  df-lfl 35676  df-lkr 35704  df-ldual 35742  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969  df-llines 36116  df-lplanes 36117  df-lvols 36118  df-lines 36119  df-psubsp 36121  df-pmap 36122  df-padd 36414  df-lhyp 36606  df-laut 36607  df-ldil 36722  df-ltrn 36723  df-trl 36777  df-tgrp 37361  df-tendo 37373  df-edring 37375  df-dveca 37621  df-disoa 37647  df-dvech 37697  df-dib 37757  df-dic 37791  df-dih 37847  df-doch 37966  df-djh 38013
This theorem is referenced by:  lcfrlem13  38173  hvmap1o  38381
  Copyright terms: Public domain W3C validator