Theorem lcf1o 41508

Description: Define a function 𝐽 that provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcf1o	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, +   𝑥,𝑅   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, +   ⊥ ,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐹   𝑓,𝑉   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcf1o

Dummy variables 𝑙 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. 2 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
17	16	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥))))
18	17	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
19		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑥))
20	19	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
21	20	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
22	21	rexbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
23	18, 22	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
24	23	cbvriotavw 7414	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
25		eqeq1 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
26	25	rexbidv 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
27	26	riotabidv 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
28	24, 27	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
29	28	cbvmptv 5279	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
30		sneq 4658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
31	30	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
32		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑙 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑦))
33	32	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))
34	33	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
35	31, 34	rexeqbidv 3355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
36	35	riotabidv 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
37	36	mpteq2dv 5268	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
38	29, 37	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
39	38	cbvmptv 5279	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
40	15, 39	eqtri 2768	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
41		lcflo.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41	lcfrlem9 41507	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  ocHcoch 41304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352

This theorem is referenced by:  lcfrlem13  41512  hvmap1o  41720