Theorem lcf1o 41198

Description: Define a function 𝐽 that provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcf1o	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, +   𝑥,𝑅   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, +   ⊥ ,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐹   𝑓,𝑉   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcf1o

Dummy variables 𝑙 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. 2 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
17	16	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥))))
18	17	cbvrexvw 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
19		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑥))
20	19	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
21	20	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
22	21	rexbidv 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
23	18, 22	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
24	23	cbvriotavw 7389	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
25		eqeq1 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
26	25	rexbidv 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
27	26	riotabidv 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
28	24, 27	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
29	28	cbvmptv 5265	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
30		sneq 4642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
31	30	fveq2d 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
32		oveq2 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑙 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑦))
33	32	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))
34	33	eqeq2d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
35	31, 34	rexeqbidv 3330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
36	35	riotabidv 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
37	36	mpteq2dv 5254	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
38	29, 37	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
39	38	cbvmptv 5265	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
40	15, 39	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
41		lcflo.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41	lcfrlem9 41197	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {crab 3418   ∖ cdif 3943  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  ℩crio 7378  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  Scalarcsca 17264   ·_𝑠 cvsca 17265  0_gc0g 17449  LFnlclfn 38703  LKerclk 38731  LDualcld 38769  HLchlt 38996  LHypclh 39631  DVecHcdvh 40725  ocHcoch 40994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-riotaBAD 38599

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-0g 17451  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-lsm 19629  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20666  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-lvec 21028  df-lsatoms 38622  df-lshyp 38623  df-lfl 38704  df-lkr 38732  df-ldual 38770  df-oposet 38822  df-ol 38824  df-oml 38825  df-covers 38912  df-ats 38913  df-atl 38944  df-cvlat 38968  df-hlat 38997  df-llines 39145  df-lplanes 39146  df-lvols 39147  df-lines 39148  df-psubsp 39150  df-pmap 39151  df-padd 39443  df-lhyp 39635  df-laut 39636  df-ldil 39751  df-ltrn 39752  df-trl 39806  df-tgrp 40390  df-tendo 40402  df-edring 40404  df-dveca 40650  df-disoa 40676  df-dvech 40726  df-dib 40786  df-dic 40820  df-dih 40876  df-doch 40995  df-djh 41042

This theorem is referenced by:  lcfrlem13  41202  hvmap1o  41410