Theorem lcf1o 38169

Description: Define a function 𝐽 that provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcf1o	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, +   𝑥,𝑅   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, +   ⊥ ,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐹   𝑓,𝑉   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcf1o

Dummy variables 𝑙 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. 2 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		oveq1 6981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
17	16	eqeq2d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥))))
18	17	cbvrexv 3377	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
19		oveq1 6981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑥))
20	19	oveq2d 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
21	20	eqeq2d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
22	21	rexbidv 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
23	18, 22	syl5bb 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
24	23	cbvriotav 6946	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
25		eqeq1 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
26	25	rexbidv 3235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
27	26	riotabidv 6937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
28	24, 27	syl5eq 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
29	28	cbvmptv 5024	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
30		sneq 4445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
31	30	fveq2d 6500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
32		oveq2 6982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑙 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑦))
33	32	oveq2d 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))
34	33	eqeq2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
35	31, 34	rexeqbidv 3335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
36	35	riotabidv 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
37	36	mpteq2dv 5019	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
38	29, 37	syl5eq 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
39	38	cbvmptv 5024	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
40	15, 39	eqtri 2795	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
41		lcflo.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41	lcfrlem9 38168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐶 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∃wrex 3082  {crab 3085   ∖ cdif 3819  {csn 4435   ↦ cmpt 5004  –1-1-onto→wf1o 6184  ‘cfv 6185  ℩crio 6934  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  +_gcplusg 16419  Scalarcsca 16422   ·_𝑠 cvsca 16423  0_gc0g 16567  LFnlclfn 35675  LKerclk 35703  LDualcld 35741  HLchlt 35968  LHypclh 36602  DVecHcdvh 37696  ocHcoch 37965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-riotaBAD 35571

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-undef 7740  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-0g 16569  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609  df-lsatoms 35594  df-lshyp 35595  df-lfl 35676  df-lkr 35704  df-ldual 35742  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969  df-llines 36116  df-lplanes 36117  df-lvols 36118  df-lines 36119  df-psubsp 36121  df-pmap 36122  df-padd 36414  df-lhyp 36606  df-laut 36607  df-ldil 36722  df-ltrn 36723  df-trl 36777  df-tgrp 37361  df-tendo 37373  df-edring 37375  df-dveca 37621  df-disoa 37647  df-dvech 37697  df-dib 37757  df-dic 37791  df-dih 37847  df-doch 37966  df-djh 38013

This theorem is referenced by:  lcfrlem13  38173  hvmap1o  38381