Theorem lcf1o 42874

Description: Define a function 𝐽 that provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcf1o.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcf1o.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcf1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
lcf1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcf1o.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcf1o	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶1-1onto(𝐶 ∖ {𝑄}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤, ⊥   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, +   𝑥,𝑅   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥, +   ⊥ ,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐿   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣   𝑓,𝐹   𝑓,𝑉   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑄(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝑈(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐹(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐽(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)   0 (𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem lcf1o

Dummy variables 𝑙 𝑢 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcf1o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcf1o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcf1o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcf1o.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcf1o.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcf1o.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
7		lcf1o.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8		lcf1o.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
9		lcf1o.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		lcf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		lcf1o.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		lcf1o.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13		lcf1o.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐷)
14		lcf1o.c	. 2 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
15		lcf1o.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
17	16	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥))))
18	17	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)))
19		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑥))
20	19	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
21	20	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ 𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
22	21	rexbidv 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
23	18, 22	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
24	23	cbvriotavw 7418	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))
25		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
26	25	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
27	26	riotabidv 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
28	24, 27	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
29	28	cbvmptv 5215	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))))
30		sneq 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
31	30	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ( ⊥ ‘{𝑥}) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
32		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑙 · 𝑥) = (𝑙 · 𝑦))
33	32	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))
34	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ 𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
35	31, 34	rexeqbidv 3339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)) ↔ ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
36	35	riotabidv 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦))))
37	36	mpteq2dv 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
38	29, 37	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
39	38	cbvmptv 5215	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥))))) = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
40	15, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ ( ⊥ ‘{𝑦})𝑢 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑦)))))
41		lcflo.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 40, 41	lcfrlem9 42873	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑉 ∖ { 0 })⟶1-1onto(𝐶 ∖ {𝑄}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ∖ cdif 4048  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  ℩crio 7407  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LFnlclfn 40380  LKerclk 40408  LDualcld 40446  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  ocHcoch 42670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718

This theorem is used by:  lcfrlem13  42878  hvmap1o  43086