Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdordlem1a 41617
Description: Lemma for mapdord 41621. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdordlem1a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdordlem1a.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdordlem1a.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
mapdordlem1a.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdordlem1a.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdordlem1a.t 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
mapdordlem1a.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdordlem1a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapdordlem1a (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem1a
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)
2 mapdordlem1a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdordlem1a.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdordlem1a.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdordlem1a.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdordlem1a.y . . . . . . 7 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7 mapdordlem1a.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 mapdordlem1a.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → 𝐽𝐹)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10dochlkr 41368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌)))
121, 11mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌))
1312simpld 494 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽))
1413ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
1514pm4.71rd 562 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))))
16 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝐿𝑔)) = (𝑂‘(𝐿𝐽)))
1716fveq2d 6911 . . . 4 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))))
1817eleq1d 2824 . . 3 (𝑔 = 𝐽 → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
19 mapdordlem1a.t . . 3 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
2018, 19elrab2 3698 . 2 (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
21 mapdordlem1a.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2221lcfl1lem 41474 . . . 4 (𝐽𝐶 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
2322anbi1i 624 . . 3 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
24 anass 468 . . 3 (((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ (𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
25 an12 645 . . 3 ((𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2623, 24, 253bitri 297 . 2 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2715, 20, 263bitr4g 314 1 (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cfv 6563  Basecbs 17245  LSHypclsh 38957  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41620
  Copyright terms: Public domain W3C validator