Theorem mapdordlem1a 40995

Description: Lemma for mapdord 40999. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdordlem1a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdordlem1a.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdordlem1a.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
mapdordlem1a.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdordlem1a.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdordlem1a.t	⊢ 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝑌}
mapdordlem1a.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdordlem1a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapdordlem1a	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝑇 ↔ (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)
2		mapdordlem1a.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdordlem1a.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdordlem1a.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdordlem1a.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdordlem1a.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		mapdordlem1a.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		mapdordlem1a.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) → 𝐽 ∈ 𝐹)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	dochlkr 40746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝐿‘𝐽) ∈ 𝑌)))
12	1, 11	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝐿‘𝐽) ∈ 𝑌))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽)))
15	14	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌))))
16		2fveq3 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) = (𝑂‘(𝐿‘𝐽)))
17	16	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))))
18	17	eleq1d 2810	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐽 → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌))
19		mapdordlem1a.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) ∈ 𝑌}
20	18, 19	elrab2 3678	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑇 ↔ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌))
21		mapdordlem1a.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
22	21	lcfl1lem 40852	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐶 ↔ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽)))
23	22	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌))
24		anass 468	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)))
25		an12 642	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)))
26	23, 24, 25	3bitri 297	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) = (𝐿‘𝐽) ∧ (𝐽 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)))
27	15, 20, 26	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝑇 ↔ (𝐽 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝐽))) ∈ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  ‘cfv 6533  Basecbs 17143  LSHypclsh 38335  LFnlclfn 38417  LKerclk 38445  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  ocHcoch 40708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lshyp 38337  df-lfl 38418  df-lkr 38446  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709

This theorem is referenced by:  mapdordlem2  40998