Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdordlem1a 37648
Description: Lemma for mapdord 37652. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdordlem1a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdordlem1a.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdordlem1a.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
mapdordlem1a.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdordlem1a.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdordlem1a.t 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
mapdordlem1a.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdordlem1a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapdordlem1a (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem1a
StepHypRef Expression
1 simprr 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)
2 mapdordlem1a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdordlem1a.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdordlem1a.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdordlem1a.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdordlem1a.y . . . . . . 7 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7 mapdordlem1a.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 mapdordlem1a.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
98adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simprl 788 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → 𝐽𝐹)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10dochlkr 37399 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌)))
121, 11mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌))
1312simpld 489 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽))
1413ex 402 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
1514pm4.71rd 559 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))))
16 2fveq3 6415 . . . . 5 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝐿𝑔)) = (𝑂‘(𝐿𝐽)))
1716fveq2d 6414 . . . 4 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))))
1817eleq1d 2862 . . 3 (𝑔 = 𝐽 → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
19 mapdordlem1a.t . . 3 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
2018, 19elrab2 3559 . 2 (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
21 mapdordlem1a.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2221lcfl1lem 37505 . . . 4 (𝐽𝐶 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
2322anbi1i 618 . . 3 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
24 anass 461 . . 3 (((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ (𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
25 an12 636 . . 3 ((𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2623, 24, 253bitri 289 . 2 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2715, 20, 263bitr4g 306 1 (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3092  cfv 6100  Basecbs 16181  LSHypclsh 34989  LFnlclfn 35071  LKerclk 35099  HLchlt 35364  LHypclh 35998  DVecHcdvh 37092  ocHcoch 37361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-riotaBAD 34967
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-tpos 7589  df-undef 7636  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-0g 16414  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cntz 18059  df-lsm 18361  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34990  df-lshyp 34991  df-lfl 35072  df-lkr 35100  df-oposet 35190  df-ol 35192  df-oml 35193  df-covers 35280  df-ats 35281  df-atl 35312  df-cvlat 35336  df-hlat 35365  df-llines 35512  df-lplanes 35513  df-lvols 35514  df-lines 35515  df-psubsp 35517  df-pmap 35518  df-padd 35810  df-lhyp 36002  df-laut 36003  df-ldil 36118  df-ltrn 36119  df-trl 36173  df-tendo 36769  df-edring 36771  df-disoa 37043  df-dvech 37093  df-dib 37153  df-dic 37187  df-dih 37243  df-doch 37362
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  37651
  Copyright terms: Public domain W3C validator