Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdordlem1a 38842
Description: Lemma for mapdord 38846. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdordlem1a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdordlem1a.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdordlem1a.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
mapdordlem1a.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdordlem1a.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdordlem1a.t 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
mapdordlem1a.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdordlem1a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapdordlem1a (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem1a
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)
2 mapdordlem1a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdordlem1a.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdordlem1a.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdordlem1a.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdordlem1a.y . . . . . . 7 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7 mapdordlem1a.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 mapdordlem1a.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
98adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → 𝐽𝐹)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10dochlkr 38593 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌)))
121, 11mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌))
1312simpld 498 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽))
1413ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
1514pm4.71rd 566 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))))
16 2fveq3 6664 . . . . 5 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝐿𝑔)) = (𝑂‘(𝐿𝐽)))
1716fveq2d 6663 . . . 4 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))))
1817eleq1d 2900 . . 3 (𝑔 = 𝐽 → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
19 mapdordlem1a.t . . 3 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
2018, 19elrab2 3669 . 2 (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
21 mapdordlem1a.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2221lcfl1lem 38699 . . . 4 (𝐽𝐶 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
2322anbi1i 626 . . 3 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
24 anass 472 . . 3 (((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ (𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
25 an12 644 . . 3 ((𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2623, 24, 253bitri 300 . 2 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2715, 20, 263bitr4g 317 1 (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3137  cfv 6344  Basecbs 16481  LSHypclsh 36183  LFnlclfn 36265  LKerclk 36293  HLchlt 36558  LHypclh 37192  DVecHcdvh 38286  ocHcoch 38555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36161
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-0g 16713  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-lub 17582  df-glb 17583  df-join 17584  df-meet 17585  df-p0 17647  df-p1 17648  df-lat 17654  df-clat 17716  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-cntz 18445  df-lsm 18759  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-dvr 19431  df-drng 19499  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lvec 19870  df-lsatoms 36184  df-lshyp 36185  df-lfl 36266  df-lkr 36294  df-oposet 36384  df-ol 36386  df-oml 36387  df-covers 36474  df-ats 36475  df-atl 36506  df-cvlat 36530  df-hlat 36559  df-llines 36706  df-lplanes 36707  df-lvols 36708  df-lines 36709  df-psubsp 36711  df-pmap 36712  df-padd 37004  df-lhyp 37196  df-laut 37197  df-ldil 37312  df-ltrn 37313  df-trl 37367  df-tendo 37963  df-edring 37965  df-disoa 38237  df-dvech 38287  df-dib 38347  df-dic 38381  df-dih 38437  df-doch 38556
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  38845
  Copyright terms: Public domain W3C validator