Theorem minplynzm1p 33685

Description: If a minimal polynomial is nonzero, then it is monic. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplynzm1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
minplynzm1p.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
minplynzm1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
minplynzm1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
minplynzm1p.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplynzm1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplynzm1p.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplynzm1p.u	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
minplynzm1p	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem minplynzm1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		minplynzm1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		minplynzm1p.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		minplynzm1p.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		minplynzm1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplynzm1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33676	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
14	13	sdrgdrng 20758	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
15	5, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
16	4	fldcrngd 20709	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
17		sdrgsubrg 20759	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	1, 2, 3, 16, 18, 6, 7, 8	ply1annidl 33673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
20	12	sneqd 4618	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
21	20	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ply1annig1p 33675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
23	21, 22	eqtr4d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
24	15	drngringd 20704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
25	2	ply1ring 22196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplycl 33677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
28		minplynzm1p.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
29		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
30		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		minplynzm1p.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
32	29, 13, 2, 30, 18, 31	ressply10g 33518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
33	28, 32	neeqtrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
34		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
35	30, 34, 9	pidlnz 33330	. . . . . 6 ⊢ (((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
36	26, 27, 33, 35	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
37	23, 36	eqnetrrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
38		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
39		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplynzm1p.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
41	2, 10, 34, 38, 39, 40	ig1pval3 26152	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))}) → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
42	15, 19, 37, 41	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
43	42	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈)
44	12, 43	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {crab 3419   ∖ cdif 3928  {csn 4606  dom cdm 5665   “ cima 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  infcinf 9462  ℝcr 11135   < clt 11276  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17454  Ringcrg 20197  SubRingcsubrg 20536  DivRingcdr 20696  Fieldcfield 20697  SubDRingcsdrg 20754  LIdealclidl 21177  RSpancrsp 21178  Poly₁cpl1 22125   evalSub₁ ces1 22264  deg₁cdg1 26028  Monic_1pcmn1 26100  idlGen_1pcig1p 26104   minPoly cminply 33670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9383  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-seq 14024  df-hash 14351  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-starv 17287  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-ip 17290  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-unif 17295  df-hom 17296  df-cco 17297  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-mhm 18764  df-submnd 18765  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-sbg 18924  df-mulg 19054  df-subg 19109  df-ghm 19199  df-cntz 19303  df-cmn 19767  df-abl 19768  df-mgp 20105  df-rng 20117  df-ur 20146  df-srg 20151  df-ring 20199  df-cring 20200  df-oppr 20301  df-dvdsr 20324  df-unit 20325  df-invr 20355  df-rhm 20439  df-subrng 20513  df-subrg 20537  df-rlreg 20661  df-drng 20698  df-field 20699  df-sdrg 20755  df-lmod 20827  df-lss 20897  df-lsp 20937  df-sra 21139  df-rgmod 21140  df-lidl 21179  df-rsp 21180  df-cnfld 21326  df-assa 21826  df-asp 21827  df-ascl 21828  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-evls 22045  df-evl 22046  df-psr1 22128  df-vr1 22129  df-ply1 22130  df-coe1 22131  df-evls1 22266  df-evl1 22267  df-mdeg 26029  df-deg1 26030  df-mon1 26105  df-uc1p 26106  df-q1p 26107  df-r1p 26108  df-ig1p 26109  df-minply 33671

This theorem is referenced by:  minplyelirng  33686