Theorem minplynzm1p 33748

Description: If a minimal polynomial is nonzero, then it is monic. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplynzm1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
minplynzm1p.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
minplynzm1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
minplynzm1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
minplynzm1p.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplynzm1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplynzm1p.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplynzm1p.u	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
minplynzm1p	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem minplynzm1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		minplynzm1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		minplynzm1p.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		minplynzm1p.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		minplynzm1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
9		eqid 2733	. . 3 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplynzm1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
14	13	sdrgdrng 20707	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
15	5, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
16	4	fldcrngd 20659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
17		sdrgsubrg 20708	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	1, 2, 3, 16, 18, 6, 7, 8	ply1annidl 33736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
20	12	sneqd 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
21	20	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ply1annig1p 33738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
23	21, 22	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
24	15	drngringd 20654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
25	2	ply1ring 22161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplycl 33740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
28		minplynzm1p.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
29		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
30		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		minplynzm1p.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
32	29, 13, 2, 30, 18, 31	ressply10g 33537	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
33	28, 32	neeqtrd 2998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
34		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
35	30, 34, 9	pidlnz 33348	. . . . . 6 ⊢ (((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
36	26, 27, 33, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
37	23, 36	eqnetrrd 2997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
38		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
39		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplynzm1p.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
41	2, 10, 34, 38, 39, 40	ig1pval3 26111	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))}) → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
42	15, 19, 37, 41	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
43	42	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈)
44	12, 43	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396   ∖ cdif 3895  {csn 4575  dom cdm 5619   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  infcinf 9332  ℝcr 11012   < clt 11153  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  0_gc0g 17345  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20486  DivRingcdr 20646  Fieldcfield 20647  SubDRingcsdrg 20703  LIdealclidl 21145  RSpancrsp 21146  Poly₁cpl1 22090   evalSub₁ ces1 22229  deg₁cdg1 25987  Monic_1pcmn1 26059  idlGen_1pcig1p 26063   minPoly cminply 33733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-rhm 20392  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-drng 20648  df-field 20649  df-sdrg 20704  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-lidl 21147  df-rsp 21148  df-cnfld 21294  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-evls 22010  df-evl 22011  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evls1 22231  df-evl1 22232  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064  df-uc1p 26065  df-q1p 26066  df-r1p 26067  df-ig1p 26068  df-minply 33734

This theorem is referenced by:  minplyelirng  33749