Theorem minplynzm1p 33683

Description: If a minimal polynomial is nonzero, then it is monic. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplynzm1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
minplynzm1p.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
minplynzm1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
minplynzm1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
minplynzm1p.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplynzm1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplynzm1p.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
minplynzm1p.u	⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
minplynzm1p	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem minplynzm1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		minplynzm1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		minplynzm1p.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		minplynzm1p.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		minplynzm1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplynzm1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}))
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
14	13	sdrgdrng 20737	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
15	5, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
16	4	fldcrngd 20689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
17		sdrgsubrg 20738	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
19	1, 2, 3, 16, 18, 6, 7, 8	ply1annidl 33671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
20	12	sneqd 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝑀‘𝐴)} = {((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})})
21	20	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ply1annig1p 33673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})}))
23	21, 22	eqtr4d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) = {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})
24	15	drngringd 20684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
25	2	ply1ring 22170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplycl 33675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
28		minplynzm1p.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ 𝑍)
29		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
30		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		minplynzm1p.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
32	29, 13, 2, 30, 18, 31	ressply10g 33516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
33	28, 32	neeqtrd 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
34		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
35	30, 34, 9	pidlnz 33328	. . . . . 6 ⊢ (((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
36	26, 27, 33, 35	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘{(𝑀‘𝐴)}) ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
37	23, 36	eqnetrrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})
38		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
39		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
40		minplynzm1p.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
41	2, 10, 34, 38, 39, 40	ig1pval3 26122	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∈ (LIdeal‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ≠ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))}) → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
42	15, 19, 37, 41	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ {𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∧ ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)})) = inf(((deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) “ ({𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} ∖ {(0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))})), ℝ, < )))
43	42	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom (𝐸 evalSub1 𝐹) ∣ (((𝐸 evalSub1 𝐹)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}) ∈ 𝑈)
44	12, 43	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {crab 3413   ∖ cdif 3921  {csn 4599  dom cdm 5652   “ cima 5655  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  infcinf 9448  ℝcr 11121   < clt 11262  Basecbs 17215   ↾_s cress 17238  0_gc0g 17440  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20516  DivRingcdr 20676  Fieldcfield 20677  SubDRingcsdrg 20733  LIdealclidl 21154  RSpancrsp 21155  Poly₁cpl1 22099   evalSub₁ ces1 22238  deg₁cdg1 25998  Monic_1pcmn1 26070  idlGen_1pcig1p 26074   minPoly cminply 33668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200  ax-addf 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-pm 8838  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14010  df-hash 14339  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20284  df-dvdsr 20304  df-unit 20305  df-invr 20335  df-rhm 20419  df-subrng 20493  df-subrg 20517  df-rlreg 20641  df-drng 20678  df-field 20679  df-sdrg 20734  df-lmod 20806  df-lss 20876  df-lsp 20916  df-sra 21118  df-rgmod 21119  df-lidl 21156  df-rsp 21157  df-cnfld 21303  df-assa 21800  df-asp 21801  df-ascl 21802  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22019  df-evl 22020  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-evls1 22240  df-evl1 22241  df-mdeg 25999  df-deg1 26000  df-mon1 26075  df-uc1p 26076  df-q1p 26077  df-r1p 26078  df-ig1p 26079  df-minply 33669

This theorem is referenced by:  minplyelirng  33684