Theorem minplymindeg 34122

Description: The minimal polynomial of 𝐴 is minimal among the nonzero annihilators of 𝐴 with regard to degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplymindeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplymindeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplymindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplymindeg.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplymindeg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
minplymindeg.1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
minplymindeg.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
minplymindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplymindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Proof of Theorem minplymindeg

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplymindeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2766	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplymindeg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 34119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13	12	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })))
14		minplymindeg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16	15	sdrgdrng 20923	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
17	5, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
18	4	fldcrngd 20872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
19		sdrgsubrg 20924	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
20	5, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
21	1, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8	ply1annidl 34116	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
22		minplymindeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
23		minplymindeg.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
24		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐻))
25	24	fveq1d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐻)‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 ))
27		minplymindeg.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
28	1, 2, 14, 18, 20	evls1dm 33875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = 𝑈)
29	27, 28	eleqtrrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom 𝑂)
30		minplymindeg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
31	26, 29, 30	elrabd 3655	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
32		minplymindeg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
33	2, 10, 14, 17, 21, 22, 23, 31, 32	ig1pmindeg 33916	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })) ≤ (𝐷‘𝐻))
34	13, 33	eqbrtrd 5138	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ≤ cle 11262  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  0_gc0g 17517  SubRingcsubrg 20698  DivRingcdr 20857  Fieldcfield 20858  SubDRingcsdrg 20919  RSpancrsp 21361  Poly₁cpl1 22367   evalSub₁ ces1 22503  deg₁cdg1 26241  idlGen_1pcig1p 26317   minPoly cminply 34113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-mhm 18866  df-submnd 18867  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-sbg 19030  df-mulg 19159  df-subg 19214  df-ghm 19309  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-srg 20294  df-ring 20342  df-cring 20343  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-rhm 20580  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-rlreg 20823  df-drng 20859  df-field 20860  df-sdrg 20920  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-cnfld 21553  df-assa 22033  df-asp 22034  df-ascl 22035  df-psr 22089  df-mvr 22090  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-evls 22255  df-evl 22256  df-psr1 22370  df-vr1 22371  df-ply1 22372  df-coe1 22373  df-evls1 22505  df-evl1 22506  df-mdeg 26242  df-deg1 26243  df-mon1 26318  df-uc1p 26319  df-ig1p 26322  df-minply 34114

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34140