Theorem minplymindeg 34042

Description: The minimal polynomial of 𝐴 is minimal among the nonzero annihilators of 𝐴 with regard to degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplymindeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplymindeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplymindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplymindeg.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplymindeg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
minplymindeg.1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
minplymindeg.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
minplymindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplymindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Proof of Theorem minplymindeg

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplymindeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplymindeg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 34039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13	12	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })))
14		minplymindeg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16	15	sdrgdrng 20870	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
17	5, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
18	4	fldcrngd 20825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
19		sdrgsubrg 20871	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
20	5, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
21	1, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8	ply1annidl 34036	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
22		minplymindeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
23		minplymindeg.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
24		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐻))
25	24	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐻)‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 ))
27		minplymindeg.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
28	1, 2, 14, 18, 20	evls1dm 33795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = 𝑈)
29	27, 28	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom 𝑂)
30		minplymindeg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
31	26, 29, 30	elrabd 3661	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
32		minplymindeg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
33	2, 10, 14, 17, 21, 22, 23, 31, 32	ig1pmindeg 33836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })) ≤ (𝐷‘𝐻))
34	13, 33	eqbrtrd 5137	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ≤ cle 11243  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491  SubRingcsubrg 20653  DivRingcdr 20812  Fieldcfield 20813  SubDRingcsdrg 20866  RSpancrsp 21308  Poly₁cpl1 22305   evalSub₁ ces1 22441  deg₁cdg1 26179  idlGen_1pcig1p 26255   minPoly cminply 34033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-drng 20814  df-field 20815  df-sdrg 20867  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-lidl 21309  df-cnfld 21491  df-assa 21971  df-asp 21972  df-ascl 21973  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-evls 22193  df-evl 22194  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310  df-coe1 22311  df-evls1 22443  df-evl1 22444  df-mdeg 26180  df-deg1 26181  df-mon1 26256  df-uc1p 26257  df-ig1p 26260  df-minply 34034

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  34060