Theorem minplymindeg 34162

Description: The minimal polynomial of 𝐴 is minimal among the nonzero annihilators of 𝐴 with regard to degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplymindeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplymindeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplymindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplymindeg.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplymindeg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
minplymindeg.1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
minplymindeg.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
minplymindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplymindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Proof of Theorem minplymindeg

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplymindeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplymindeg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 34159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13	12	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })))
14		minplymindeg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16	15	sdrgdrng 20943	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
17	5, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
18	4	fldcrngd 20892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
19		sdrgsubrg 20944	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
20	5, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
21	1, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8	ply1annidl 34156	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
22		minplymindeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
23		minplymindeg.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
24		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐻))
25	24	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐻)‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 ))
27		minplymindeg.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
28	1, 2, 14, 18, 20	evls1dm 33915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = 𝑈)
29	27, 28	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom 𝑂)
30		minplymindeg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
31	26, 29, 30	elrabd 3654	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
32		minplymindeg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
33	2, 10, 14, 17, 21, 22, 23, 31, 32	ig1pmindeg 33956	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })) ≤ (𝐷‘𝐻))
34	13, 33	eqbrtrd 5135	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ≤ cle 11259  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  0_gc0g 17514  SubRingcsubrg 20718  DivRingcdr 20877  Fieldcfield 20878  SubDRingcsdrg 20939  RSpancrsp 21381  Poly₁cpl1 22387   evalSub₁ ces1 22523  deg₁cdg1 26262  idlGen_1pcig1p 26338   minPoly cminply 34153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-srg 20313  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-rhm 20600  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-rlreg 20843  df-drng 20879  df-field 20880  df-sdrg 20940  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-lidl 21382  df-cnfld 21573  df-assa 22053  df-asp 22054  df-ascl 22055  df-psr 22109  df-mvr 22110  df-mpl 22111  df-opsr 22113  df-evls 22275  df-evl 22276  df-psr1 22390  df-vr1 22391  df-ply1 22392  df-coe1 22393  df-evls1 22525  df-evl1 22526  df-mdeg 26263  df-deg1 26264  df-mon1 26339  df-uc1p 26340  df-ig1p 26343  df-minply 34154

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34180