Theorem minplymindeg 33679

Description: The minimal polynomial of 𝐴 is minimal among the nonzero annihilators of 𝐴 with regard to degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplymindeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplymindeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplymindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplymindeg.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplymindeg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
minplymindeg.1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
minplymindeg.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
minplymindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplymindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Proof of Theorem minplymindeg

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplymindeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplymindeg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13	12	fveq2d 6905	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })))
14		minplymindeg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16	15	sdrgdrng 20789	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
17	5, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
18	4	fldcrngd 20740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
19		sdrgsubrg 20790	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
21	1, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8	ply1annidl 33673	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
22		minplymindeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
23		minplymindeg.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
24		fveq2 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐻))
25	24	fveq1d 6903	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐻)‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 ))
27		minplymindeg.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
28	1, 2, 14, 18, 20	evls1dm 33530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = 𝑈)
29	27, 28	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom 𝑂)
30		minplymindeg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
31	26, 29, 30	elrabd 3697	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
32		minplymindeg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
33	2, 10, 14, 17, 21, 22, 23, 31, 32	ig1pmindeg 33565	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })) ≤ (𝐷‘𝐻))
34	13, 33	eqbrtrd 5171	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2936  {crab 3432   class class class wbr 5149  dom cdm 5683  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425   ≤ cle 11287  Basecbs 17234   ↾_s cress 17263  0_gc0g 17475  SubRingcsubrg 20571  DivRingcdr 20727  Fieldcfield 20728  SubDRingcsdrg 20785  RSpancrsp 21216  Poly₁cpl1 22175   evalSub₁ ces1 22314  deg₁cdg1 26089  idlGen_1pcig1p 26165   minPoly cminply 33670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-seq 14029  df-hash 14356  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-prds 17483  df-pws 17485  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-mulg 19084  df-subg 19139  df-ghm 19229  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-srg 20190  df-ring 20238  df-cring 20239  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-rhm 20474  df-subrng 20548  df-subrg 20573  df-rlreg 20692  df-drng 20729  df-field 20730  df-sdrg 20786  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-lidl 21217  df-cnfld 21364  df-assa 21872  df-asp 21873  df-ascl 21874  df-psr 21928  df-mvr 21929  df-mpl 21930  df-opsr 21932  df-evls 22097  df-evl 22098  df-psr1 22178  df-vr1 22179  df-ply1 22180  df-coe1 22181  df-evls1 22316  df-evl1 22317  df-mdeg 26090  df-deg1 26091  df-mon1 26166  df-uc1p 26167  df-ig1p 26170  df-minply 33671

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33695