Theorem minplymindeg 33693

Description: The minimal polynomial of 𝐴 is minimal among the nonzero annihilators of 𝐴 with regard to degree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplymindeg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
minplymindeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
minplymindeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
minplymindeg.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
minplymindeg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
minplymindeg.1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
minplymindeg.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
minplymindeg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
minplymindeg	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Proof of Theorem minplymindeg

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5		ply1annig1p.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
6		ply1annig1p.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		minplymindeg.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
11		minplymindeg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minplyval 33690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }))
13	12	fveq2d 6919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })))
14		minplymindeg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16	15	sdrgdrng 20807	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
17	5, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
18	4	fldcrngd 20758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
19		sdrgsubrg 20808	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
21	1, 2, 3, 18, 20, 6, 7, 8	ply1annidl 33687	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
22		minplymindeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
23		minplymindeg.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
24		fveq2 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (𝑂‘𝑞) = (𝑂‘𝐻))
25	24	fveq1d 6917	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = ((𝑂‘𝐻)‘𝐴))
26	25	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐻 → (((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 ))
27		minplymindeg.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)
28	1, 2, 14, 18, 20	evls1dm 33544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = 𝑈)
29	27, 28	eleqtrrd 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom 𝑂)
30		minplymindeg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐻)‘𝐴) = 0 )
31	26, 29, 30	elrabd 3710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
32		minplymindeg.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≠ 𝑍)
33	2, 10, 14, 17, 21, 22, 23, 31, 32	ig1pmindeg 33579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘{𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })) ≤ (𝐷‘𝐻))
34	13, 33	eqbrtrd 5188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ≤ (𝐷‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443   class class class wbr 5166  dom cdm 5695  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443   ≤ cle 11319  Basecbs 17252   ↾_s cress 17281  0_gc0g 17493  SubRingcsubrg 20589  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746  SubDRingcsdrg 20803  RSpancrsp 21234  Poly₁cpl1 22191   evalSub₁ ces1 22330  deg₁cdg1 26105  idlGen_1pcig1p 26181   minPoly cminply 33684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256  ax-addf 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-ofr 7709  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-supp 8196  df-tpos 8261  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8950  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-fsupp 9426  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-card 10002  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-uz 12898  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-seq 14047  df-hash 14374  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-mhm 18812  df-submnd 18813  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-mulg 19102  df-subg 19157  df-ghm 19247  df-cntz 19351  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-srg 20208  df-ring 20256  df-cring 20257  df-oppr 20354  df-dvdsr 20377  df-unit 20378  df-invr 20408  df-rhm 20492  df-subrng 20566  df-subrg 20591  df-rlreg 20710  df-drng 20747  df-field 20748  df-sdrg 20804  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-cnfld 21382  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21945  df-mvr 21946  df-mpl 21947  df-opsr 21949  df-evls 22114  df-evl 22115  df-psr1 22194  df-vr1 22195  df-ply1 22196  df-coe1 22197  df-evls1 22332  df-evl1 22333  df-mdeg 26106  df-deg1 26107  df-mon1 26182  df-uc1p 26183  df-ig1p 26186  df-minply 33685

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33709