Theorem dihprrnlem2 40887

Description: Lemma for dihprrn 40888. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dihprrnlem2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihprrnlem2.xz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
dihprrnlem2.yz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dihprrnlem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4627	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
2	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3		dihprrn.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6		dihprrn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
8		dihprrn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihprrn.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihprrn.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		dihprrnlem2.xz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
12		dihprrn.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		dihprrnlem2.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		dihprrn.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 3, 6, 12, 13, 14, 8	dihlspsnat 40795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
17		dihprrn.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18		dihprrnlem2.yz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
19	5, 3, 6, 12, 13, 14, 8	dihlspsnat 40795	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
20	9, 17, 18, 19	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
21	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 20	dihjat 40885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
22	3, 6, 12, 14, 8	dihlsprn 40793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
23	9, 10, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
24	3, 8	dihcnvid2 40735	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
25	9, 23, 24	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
26	3, 6, 12, 14, 8	dihlsprn 40793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
27	9, 17, 26	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
28	3, 8	dihcnvid2 40735	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
29	9, 27, 28	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
30	25, 29	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
31	3, 6, 9	dvhlmod 40572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
32	10	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
33	17	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
34	12, 14, 7	lsmsp2 20965	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
36	21, 30, 35	3eqtrrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
37	2, 36	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
38	9	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
39	38	hllatd 38825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
40		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
41	40, 3, 8	dihcnvcl 40733	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
42	9, 23, 41	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
43	40, 3, 8	dihcnvcl 40733	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
44	9, 27, 43	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
45	40, 4	latjcl 18424	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
46	39, 42, 44, 45	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
47	40, 3, 8	dihcl 40732	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
48	9, 46, 47	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
49	37, 48	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626  ^◡ccnv 5671  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  0_gc0g 17414  joincjn 18296  Latclat 18416  LSSumclsm 19582  LModclmod 20736  LSpanclspn 20848  Atomscatm 38724  HLchlt 38811  LHypclh 39446  DVecHcdvh 40540  DIsoHcdih 40690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38414

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38437  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-llines 38960  df-lplanes 38961  df-lvols 38962  df-lines 38963  df-psubsp 38965  df-pmap 38966  df-padd 39258  df-lhyp 39450  df-laut 39451  df-ldil 39566  df-ltrn 39567  df-trl 39621  df-tgrp 40205  df-tendo 40217  df-edring 40219  df-dveca 40465  df-disoa 40491  df-dvech 40541  df-dib 40601  df-dic 40635  df-dih 40691  df-doch 40810  df-djh 40857

This theorem is referenced by:  dihprrn  40888