Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihprrnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihprrnlem2 37231
Description: Lemma for dihprrn 37232. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihprrn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihprrn.x (𝜑𝑋𝑉)
dihprrn.y (𝜑𝑌𝑉)
dihprrnlem2.o 0 = (0g𝑈)
dihprrnlem2.xz (𝜑𝑋0 )
dihprrnlem2.yz (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
dihprrnlem2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrnlem2
StepHypRef Expression
1 df-pr 4319 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
21fveq2i 6335 . . 3 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3 dihprrn.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2771 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 eqid 2771 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
6 dihprrn.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2771 . . . . 5 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
8 dihprrn.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9 dihprrn.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 dihprrn.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
11 dihprrnlem2.xz . . . . . 6 (𝜑𝑋0 )
12 dihprrn.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 dihprrnlem2.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
14 dihprrn.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
155, 3, 6, 12, 13, 14, 8dihlspsnat 37139 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
169, 10, 11, 15syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Atoms‘𝐾))
17 dihprrn.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
18 dihprrnlem2.yz . . . . . 6 (𝜑𝑌0 )
195, 3, 6, 12, 13, 14, 8dihlspsnat 37139 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉𝑌0 ) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
209, 17, 18, 19syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Atoms‘𝐾))
213, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 20dihjat 37229 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
223, 6, 12, 14, 8dihlsprn 37137 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
239, 10, 22syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
243, 8dihcnvid2 37079 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
259, 23, 24syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
263, 6, 12, 14, 8dihlsprn 37137 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
279, 17, 26syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
283, 8dihcnvid2 37079 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
299, 27, 28syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) = (𝑁‘{𝑌}))
3025, 29oveq12d 6810 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑋})))(LSSum‘𝑈)(𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
313, 6, 9dvhlmod 36916 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3210snssd 4475 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
3317snssd 4475 . . . . 5 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
3412, 14, 7lsmsp2 19299 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
3621, 30, 353eqtrrd 2810 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝐼‘((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
372, 36syl5eq 2817 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝐼‘((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))))
389simpld 476 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
39 hllat 35168 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
41 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4241, 3, 8dihcnvcl 37077 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
439, 23, 42syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
4441, 3, 8dihcnvcl 37077 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
459, 27, 44syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾))
4641, 4latjcl 17258 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
4740, 43, 45, 46syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾))
4841, 3, 8dihcl 37076 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
499, 47, 48syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝐼‘((𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))(join‘𝐾)(𝐼‘(𝑁‘{𝑌})))) ∈ ran 𝐼)
5037, 49eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cun 3721  wss 3723  {csn 4316  {cpr 4318  ccnv 5248  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  0gc0g 16307  joincjn 17151  Latclat 17252  LSSumclsm 18255  LModclmod 19072  LSpanclspn 19183  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  LHypclh 35788  DVecHcdvh 36884  DIsoHcdih 37034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34757
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34781  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-llines 35302  df-lplanes 35303  df-lvols 35304  df-lines 35305  df-psubsp 35307  df-pmap 35308  df-padd 35600  df-lhyp 35792  df-laut 35793  df-ldil 35908  df-ltrn 35909  df-trl 35964  df-tgrp 36548  df-tendo 36560  df-edring 36562  df-dveca 36808  df-disoa 36835  df-dvech 36885  df-dib 36945  df-dic 36979  df-dih 37035  df-doch 37154  df-djh 37201
This theorem is referenced by:  dihprrn  37232
  Copyright terms: Public domain W3C validator