Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmulcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmulcncf 42628
 Description: A sufficient condition for the derivative of a product to be continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmulcncf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmulcncf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvmulcncf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvmulcncf.fdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
dvmulcncf.gdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
dvmulcncf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f · 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))

Proof of Theorem dvmulcncf
StepHypRef Expression
1 dvmulcncf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmulcncf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvmulcncf.g . . 3 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
4 dvmulcncf.fdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5 cncff 23512 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6 fdm 6498 . . . 4 ((𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
8 dvmulcncf.gdv . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
9 cncff 23512 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
10 fdm 6498 . . . 4 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
121, 2, 3, 7, 11dvmulf 24560 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)))
13 ax-resscn 10590 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
14 sseq1 3940 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
1513, 14mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
16 eqimss 3971 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
1715, 16pm3.2i 474 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ))
18 elpri 4547 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
191, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20 pm3.44 957 . . . . . 6 (((𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ))
2117, 19, 20mpsyl 68 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
22 dvbsss 24519 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
237, 22eqsstrrdi 3970 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
24 dvcn 24538 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋) → 𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
2521, 3, 23, 11, 24syl31anc 1370 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋cn→ℂ))
264, 25mulcncff 42573 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∈ (𝑋cn→ℂ))
27 dvcn 24538 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
2821, 2, 23, 7, 27syl31anc 1370 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℂ))
298, 28mulcncff 42573 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3026, 29addcncff 42587 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
3112, 30eqeltrd 2890 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f · 𝐺)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {cpr 4527  dom cdm 5520  ⟶wf 6323  (class class class)co 7140   ∘f cof 7393  ℂcc 10531  ℝcr 10532   + caddc 10536   · cmul 10538  –cn→ccncf 23495   D cdv 24480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-cnfld 20100  df-top 21513  df-topon 21530  df-topsp 21552  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-lp 21755  df-perf 21756  df-cn 21846  df-cnp 21847  df-haus 21934  df-tx 22181  df-hmeo 22374  df-fil 22465  df-fm 22557  df-flim 22558  df-flf 22559  df-xms 22941  df-ms 22942  df-tms 22943  df-cncf 23497  df-limc 24483  df-dv 24484 This theorem is referenced by:  fourierdlem72  42881
 Copyright terms: Public domain W3C validator