Theorem fprodsubrecnncnv 45892

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsubrecnncnv.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsubrecnncnv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnv.4	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
fprodsubrecnncnv	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnv

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsubrecnncnv.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsubrecnncnv.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		fprodsubrecnncnv.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		fprodsubrecnncnv.4	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − (1 / 𝑛)))
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − 𝑥))
6		oveq2 7446	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7	6	cbvmptv 5264	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑚)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	fprodsubrecnncnvlem 45891	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234  (class class class)co 7438  Fincfn 8993  ℂcc 11160  1c1 11163   − cmin 11499   / cdiv 11927  ℕcn 12273   ⇝ cli 15526  ∏cprod 15945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-inf2 9688  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-fi 9458  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-q 12998  df-rp 13042  df-xneg 13161  df-xadd 13162  df-xmul 13163  df-icc 13400  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-fl 13838  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-prod 15946  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-starv 17322  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-unif 17330  df-hom 17331  df-cco 17332  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21383  df-xmet 21384  df-met 21385  df-bl 21386  df-mopn 21387  df-cnfld 21392  df-top 22925  df-topon 22942  df-topsp 22964  df-bases 22978  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-xms 24355  df-ms 24356  df-tms 24357  df-cncf 24929

This theorem is referenced by:  vonioolem1  46664