Theorem fprodsubrecnncnv 43409

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsubrecnncnv.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsubrecnncnv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnv.4	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
fprodsubrecnncnv	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnv

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsubrecnncnv.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsubrecnncnv.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		fprodsubrecnncnv.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		fprodsubrecnncnv.4	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − (1 / 𝑛)))
5		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − 𝑥))
6		oveq2 7277	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7	6	cbvmptv 5188	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑚)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	fprodsubrecnncnvlem 43408	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  (class class class)co 7269  Fincfn 8722  ℂcc 10858  1c1 10861   − cmin 11194   / cdiv 11621  ℕcn 11962   ⇝ cli 15182  ∏cprod 15604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-inf2 9388  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938  ax-mulf 10940

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-se 5542  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-isom 6437  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-er 8487  df-map 8606  df-pm 8607  df-ixp 8675  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-fsupp 9118  df-fi 9159  df-sup 9190  df-inf 9191  df-oi 9258  df-card 9686  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-q 12678  df-rp 12720  df-xneg 12837  df-xadd 12838  df-xmul 12839  df-icc 13075  df-fz 13229  df-fzo 13372  df-fl 13501  df-seq 13711  df-exp 13772  df-hash 14034  df-cj 14799  df-re 14800  df-im 14801  df-sqrt 14935  df-abs 14936  df-clim 15186  df-rlim 15187  df-prod 15605  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-starv 16966  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-ip 16969  df-tset 16970  df-ple 16971  df-ds 16973  df-unif 16974  df-hom 16975  df-cco 16976  df-rest 17122  df-topn 17123  df-0g 17141  df-gsum 17142  df-topgen 17143  df-pt 17144  df-prds 17147  df-xrs 17202  df-qtop 17207  df-imas 17208  df-xps 17210  df-mre 17284  df-mrc 17285  df-acs 17287  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-mulg 18690  df-cntz 18912  df-cmn 19377  df-psmet 20578  df-xmet 20579  df-met 20580  df-bl 20581  df-mopn 20582  df-cnfld 20587  df-top 22032  df-topon 22049  df-topsp 22071  df-bases 22085  df-cn 22367  df-cnp 22368  df-tx 22702  df-hmeo 22895  df-xms 23462  df-ms 23463  df-tms 23464  df-cncf 24030

This theorem is referenced by:  vonioolem1  44178