Theorem fprodsubrecnncnv 45899

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsubrecnncnv.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsubrecnncnv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnv.4	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
fprodsubrecnncnv	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnv

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsubrecnncnv.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsubrecnncnv.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		fprodsubrecnncnv.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		fprodsubrecnncnv.4	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − (1 / 𝑛)))
5		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 − 𝑥))
6		oveq2 7397	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7	6	cbvmptv 5213	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑚)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	fprodsubrecnncnvlem 45898	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  (class class class)co 7389  Fincfn 8920  ℂcc 11072  1c1 11075   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187   ⇝ cli 15456  ∏cprod 15875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-prod 15876  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777

This theorem is referenced by:  vonioolem1  46671