Theorem gg-divccn 35165

Description: Division by a nonzero constant is a continuous operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) Avoid ax-mulf 11190. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gg-expcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
gg-divccn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Proof of Theorem gg-divccn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrec 11888	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 / 𝐴) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
2	1	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑥 / 𝐴) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
3	2	ancoms 460	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 / 𝐴) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
4	3	mpteq2dva 5249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (1 / 𝐴))))
5		gg-expcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
6	5	cnfldtopon 24299	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
8	7	cnmptid 23165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
9		reccl 11879	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10	7, 7, 9	cnmptc 23166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
11	5	mpomulcn 35162	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
13		oveq12 7418	. . 3 ⊢ ((𝑢 = 𝑥 ∧ 𝑣 = (1 / 𝐴)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑥 · (1 / 𝐴)))
14	7, 8, 10, 7, 7, 12, 13	cnmpt12 23171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (1 / 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
15	4, 14	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   / cdiv 11871  TopOpenctopn 17367  ℂ_fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   ×_t ctx 23064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828

This theorem is referenced by:  gg-icchmeo  35170