Theorem hgmapdcl 40104

Description: Closure of the vector space to dual space scalar map, in the scalar sigma map. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapdcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapdcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapdcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapdcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmapdcl.q	⊢ 𝑄 = (Scalar‘𝐶)
hgmapdcl.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑄)
hgmapdcl.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapdcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapdcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapdcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem hgmapdcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapdcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapdcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmapdcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		hgmapdcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		hgmapdcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hgmapdcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		hgmapdcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	hgmapcl 40103	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)
9		hgmapdcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hgmapdcl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Scalar‘𝐶)
11		hgmapdcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑄)
12	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 6	lcdsbase 39814	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
13	8, 12	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  Basecbs 16961  Scalarcsca 17014  HLchlt 37564  LHypclh 38198  DVecHcdvh 39292  LCDualclcd 39800  HGMapchg 40097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-riotaBAD 37167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-undef 8120  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-0g 17201  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-proset 18062  df-poset 18080  df-plt 18097  df-lub 18113  df-glb 18114  df-join 18115  df-meet 18116  df-p0 18192  df-p1 18193  df-lat 18199  df-clat 18266  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-cntz 18972  df-oppg 18999  df-lsm 19290  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933  df-invr 19963  df-dvr 19974  df-drng 20042  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-lvec 20414  df-lsatoms 37190  df-lshyp 37191  df-lcv 37233  df-lfl 37272  df-lkr 37300  df-ldual 37338  df-oposet 37390  df-ol 37392  df-oml 37393  df-covers 37480  df-ats 37481  df-atl 37512  df-cvlat 37536  df-hlat 37565  df-llines 37712  df-lplanes 37713  df-lvols 37714  df-lines 37715  df-psubsp 37717  df-pmap 37718  df-padd 38010  df-lhyp 38202  df-laut 38203  df-ldil 38318  df-ltrn 38319  df-trl 38373  df-tgrp 38957  df-tendo 38969  df-edring 38971  df-dveca 39217  df-disoa 39243  df-dvech 39293  df-dib 39353  df-dic 39387  df-dih 39443  df-doch 39562  df-djh 39609  df-lcdual 39801  df-mapd 39839  df-hvmap 39971  df-hdmap1 40007  df-hdmap 40008  df-hgmap 40098

This theorem is referenced by:  hgmapval0  40106  hgmapadd  40108  hgmapmul  40109  hgmaprnlem1N  40110  hgmaprnN  40115