Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem15 41056
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. Convert scalar base of dual to scalar base of vector space. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem12.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem12.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem15 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑔   𝐡,𝑔   𝐢,𝑔,π‘₯   βˆ™ ,𝑔,π‘₯   𝑔,𝐹,π‘₯   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔,π‘₯   Β· ,𝑔,π‘₯   π‘ˆ,𝑔,π‘₯   𝑔,𝑉,π‘₯   πœ‘,𝑔,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑔)   𝐾(π‘₯,𝑔)   π‘Š(π‘₯,𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem15
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem12.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem12.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap14lem12.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5 hdmap14lem12.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap14lem12.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 hdmap14lem12.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap14lem12.e . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
9 hdmap14lem12.s . . 3 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmap14lem12.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 hdmap14lem12.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
12 eqid 2730 . . 3 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
13 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hdmap14lem14 41055 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)))
151, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 10lcdsbase 40774 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
16 reueq1 3413 . . 3 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡 β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯))))
1715, 16syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯))))
1814, 17mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒ!wreu 3372  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  LCDualclcd 40760  HDMapchdma 40966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-lcdual 40761  df-mapd 40799  df-hvmap 40931  df-hdmap1 40967  df-hdmap 40968
This theorem is referenced by:  hgmapcl  41063  hgmapvs  41065
  Copyright terms: Public domain W3C validator