Theorem hdmap14lem15 42689

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. Convert scalar base of dual to scalar base of vector space. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem12.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem12.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem15	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔,𝑥   ∙ ,𝑔,𝑥   𝑔,𝐹,𝑥   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑈,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐻(𝑥, 𝑔)   𝐾(𝑥, 𝑔)   𝑊(𝑥, 𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem12.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem12.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem12.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem12.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem12.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmap14lem12.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		hdmap14lem12.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap14lem12.e	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
9		hdmap14lem12.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem12.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		hdmap14lem12.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
13		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hdmap14lem14 42688	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
15	1, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 10	lcdsbase 42407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
16		reueq1 3403	. . 3 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵 → (∃!𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
18	14, 17	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃!wreu 3369  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Scalarcsca 17331   ·_𝑠 cvsca 17332  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  LCDualclcd 42393  HDMapchdma 42599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-0g 17512  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18506  df-clat 18573  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-cntz 19411  df-oppg 19440  df-lsm 19730  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-nzr 20640  df-rlreg 20823  df-domn 20824  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lvec 21254  df-lsatoms 39783  df-lshyp 39784  df-lcv 39826  df-lfl 39865  df-lkr 39893  df-ldual 39931  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202  df-lcdual 42394  df-mapd 42432  df-hvmap 42564  df-hdmap1 42600  df-hdmap 42601

This theorem is used by:  hgmapcl  42696  hgmapvs  42698