Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem15 40348
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. Convert scalar base of dual to scalar base of vector space. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem12.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem12.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem15 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑔   𝐡,𝑔   𝐢,𝑔,π‘₯   βˆ™ ,𝑔,π‘₯   𝑔,𝐹,π‘₯   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔,π‘₯   Β· ,𝑔,π‘₯   π‘ˆ,𝑔,π‘₯   𝑔,𝑉,π‘₯   πœ‘,𝑔,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝐻(π‘₯,𝑔)   𝐾(π‘₯,𝑔)   π‘Š(π‘₯,𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem15
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem12.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem12.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap14lem12.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5 hdmap14lem12.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap14lem12.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 hdmap14lem12.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap14lem12.e . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
9 hdmap14lem12.s . . 3 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmap14lem12.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 hdmap14lem12.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
12 eqid 2737 . . 3 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
13 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hdmap14lem14 40347 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)))
151, 2, 5, 6, 7, 12, 13, 10lcdsbase 40066 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
16 reueq1 3393 . . 3 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡 β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯))))
1715, 16syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯))))
1814, 17mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· π‘₯)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒ!wreu 3352  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  HLchlt 37815  LHypclh 38450  DVecHcdvh 39544  LCDualclcd 40052  HDMapchdma 40258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-oppg 19125  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lsatoms 37441  df-lshyp 37442  df-lcv 37484  df-lfl 37523  df-lkr 37551  df-ldual 37589  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tgrp 39209  df-tendo 39221  df-edring 39223  df-dveca 39469  df-disoa 39495  df-dvech 39545  df-dib 39605  df-dic 39639  df-dih 39695  df-doch 39814  df-djh 39861  df-lcdual 40053  df-mapd 40091  df-hvmap 40223  df-hdmap1 40259  df-hdmap 40260
This theorem is referenced by:  hgmapcl  40355  hgmapvs  40357
  Copyright terms: Public domain W3C validator