Theorem refsum2cn 44975

Description: The sum of two continuus real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsum2cn.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
refsum2cn.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
refsum2cn.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsum2cn.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cn.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cn.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cn.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsum2cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{1, 2}
2		nfv 1911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 = 1
3		refsum2cn.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		refsum2cn.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
5	2, 3, 4	nfif 4560	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺)
6	1, 5	nfmpt 5254	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
7		refsum2cn.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
8		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺)) = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
9		refsum2cn.4	. 2 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10		refsum2cn.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11		refsum2cn.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
12		refsum2cn.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13	6, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12	refsum2cnlem1 44974	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536  Ⅎwnf 1779   ∈ wcel 2105  Ⅎwnfc 2887  ifcif 4530  {cpr 4632   ↦ cmpt 5230  ran crn 5689  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  2c2 12318  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347

This theorem is referenced by:  stoweidlem47  46002