Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliccsinexp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ibliccsinexp 44504
Description: sin^n on a closed interval is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
ibliccsinexp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑁
Proof of Theorem ibliccsinexp
StepHypRef Expression
1 iccssre 13390 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2 ax-resscn 11151 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
31, 2sstrdi 3991 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
43sselda 3979 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
543adantl3 1168 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
65sincld 16057 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
86, 7expcld 14095 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚)
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
109fvmpt2 6996 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
115, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
1211eqcomd 2738 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯))
1312mpteq2dva 5242 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯)))
14 nfmpt1 5250 . . . 4 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
15 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯sin
16 sincn 25887 . . . . . 6 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
18 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1915, 17, 18expcnfg 44144 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
2033adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
2114, 19, 20cncfmptss 44140 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2213, 21eqeltrd 2833 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
23 cniccibl 25289 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
2422, 23syld3an3 1409 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3945   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7394  β„‚cc 11092  β„cr 11093  β„•0cn0 12456  [,]cicc 13311  β†‘cexp 14011  sincsin 15991  β€“cnβ†’ccncf 24323  πΏ1cibl 25065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cc 10414  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173  ax-mulf 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-oadd 8454  df-omul 8455  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-fi 9390  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-dju 9880  df-card 9918  df-acn 9921  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-ioo 13312  df-ioc 13313  df-ico 13314  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-mod 13819  df-seq 13951  df-exp 14012  df-fac 14218  df-bc 14247  df-hash 14275  df-shft 14998  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-ef 15995  df-sin 15997  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17352  df-topn 17353  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-topgen 17373  df-pt 17374  df-prds 17377  df-xrs 17432  df-qtop 17437  df-imas 17438  df-xps 17440  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-mulg 18925  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-fbas 20877  df-fg 20878  df-cnfld 20881  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-cld 22454  df-ntr 22455  df-cls 22456  df-nei 22533  df-lp 22571  df-perf 22572  df-cn 22662  df-cnp 22663  df-haus 22750  df-cmp 22822  df-tx 22997  df-hmeo 23190  df-fil 23281  df-fm 23373  df-flim 23374  df-flf 23375  df-xms 23757  df-ms 23758  df-tms 23759  df-cncf 24325  df-ovol 24912  df-vol 24913  df-mbf 25067  df-itg1 25068  df-itg2 25069  df-ibl 25070  df-0p 25118  df-limc 25314  df-dv 25315
This theorem is referenced by:  iblioosinexp  44506
  Copyright terms: Public domain W3C validator